矩阵的奇异值分解

定义

设A∈Cm×n，则矩阵AHA的n个特征值λi的算术平方根δi=λi−−√叫做A的奇异值（Singular Value ）。

设A∈Cm×n，则存在酉矩阵U∈Cm×n和V∈Cm×n使得

A=UΣVH

式中 Σ=[Σ1OOO]，且 Σ1=diag(σ1,σ2,...,σr)，其对角元素按照顺序

σ1≧σ2≧...≧σr>0,r=rank(A)

排列。

这就是所谓的矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

注：酉矩阵是正交矩阵在复数域的推广。

求解

有两种求V,U的步骤：
1. 求AHA的特征值及对应的特征向量，得到V. 其中非零向量特征值对应的特征向量构成矩阵V1，由公式U1=AV1S−1得到AAH的非零特征值所对应的特征向量，其余的特征向量可以由Hermite矩阵的特征向量的正交性获得（显然不唯一）。
2. 求AAH的特征值及对应的特征向量，得到U. 其中非零向量特征值对应的特征向量构成矩阵U1，由公式V1=AHU1S−1得到AAH的非零特征值所对应的特征向量，其余的特征向量可以由Hermite矩阵的特征向量的正交性获得（显然不唯一）。

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在Matlab中可使用svd函数进行求解：

>> A = [1 0 1; 0 1 -1];
>> [U, S, V] = svd(A)

U =

   -0.7071    0.7071    0.7071    0.7071


S =

    1.7321         0         0
         0    1.0000         0


V =

   -0.4082    0.7071   -0.5774    0.4082    0.7071    0.5774
   -0.8165   -0.0000    0.5774