python幂迭代法求特征值 幂迭代法求特征向量

幂迭代法，和逆幂迭代法

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文章目录

• 幂迭代法，和逆幂迭代法
• 写在前面
• 一、幂迭代法
• 二、逆幂迭代法
• 三、规范化迭代方式
• 四、A分解

• 例

• 总结

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写在前面

承接笔记3，先补一个盖尔圆的题目

如果特征值是复数，则会有成对出现，并且两个特征值的位置关于实轴对称

题目引自: 南理工-高等工程数学突击

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一、幂迭代法

对于五次或五次以上的多项式方程一般没有公式求解，所以对阶数较大的矩阵，其特征值计算往往非常困难。幂迭代法是一种近似求得特征值的办法。

幂迭代法可以得到按模最大的特征值
主要证明如下，不看证明也行

1. 将A的特征值从大到小排列

2. 这些特征值对应的特征向量为

3. 任取一个非零向量v0，用A构造一个向量序列

4. 把v0用特征向量表示出来

5. 带入Vk

6. 将最大的λ1提出来

7. 因此

这里的i表示向量的第i个分量写出来的步骤就是

1. 对A使用幂法，求出其按模长最大的特征值λ。
3. 任取



5. 则



7. 有



8. 那么Vk也就近似于λ1对应的特征向量x1

二、逆幂迭代法

逆幂迭代法可以求得矩阵A的最小特征值，其思路就是对A的逆矩阵进行幂迭代，得到的最大特征值就是A的最小特征值的倒数。

三、规范化迭代方式

由

可知

为了克服这一问题，通常采用规范化迭代方法。具体做法为：每一次都将迭代向量的最大分量化为1之后，再带入下一次迭代。

这样的话在k足够大的时候

四、A分解

实际计算中可以先把A做LU分解,其余不变

在逆幂法中

例

19年第二题

注意两种迭代法只能求出最大和最小特征值，而对于靠近λ的问题可以转化成求 A-λI 的最小特征值。

选列主元分解与LU分解的区别就是在A前面加个P，留到第三章再说

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总结

第二章结束，第三章下星期再说