迭代法的作用

许多复杂的求解问题，都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解，在自变量范围内往往有多个解，我们将此变化区域分为多个小的子区间，对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中，选取一个近似值或者近似区间，然后运用迭代方法逐步逼近真实解。
方程求根的常用迭代法有：二分法、不动点迭代、牛顿法、弦截法。

不动点迭代法

简单迭代法或基本迭代法又称不动点迭代法

1、不动点（FixedPoint）

首先来看一下什么是不动点：

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_Python迭代法开方


换句话说，函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点，下图画出了函数y=cos(x)与y=x在区间[0,π/2]的交点，即cos(x)的不动点：

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_迭代_02


2、不动点迭代（Fixed Point Iteration）

不动点迭代的基本思想：

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_Python迭代法开方_03


也就是说，为了求解方程f(x)=0，首先将方程转换为x=g(x)，然后初始化x0，循环迭代xi+1=g(xi)，直到满足收敛收件。

这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的，比如对于f(x)=x-cos(x)，求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0，即x=cos(x)，因此g(x)=cos(x)。

再例如对于方程：

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_python_04


可以等价为

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_迭代_05


还可以等价为

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_迭代法_06


也就是说，将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式，因此对方程f(x)=0来说，g(x)也不是唯一的。

3、不动点迭代的收敛性

这个迭代过程是很简单的，但这里有个关键性的问题：迭代收敛么？即经过N次迭代后是否会收敛于不动点？

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_迭代法_07


通俗点讲，若要使不动点迭代收敛，则要求φ(x)在区间[a,b]上的函数值也在此区间内，另外还要求φ(x)的斜率绝对值不大于1。其证明过程比较复杂，有兴趣的可以查阅一些相关文献。

例题

求方程式：x3 - 0.165 × x2 + 3.993 × 10-4 = 0在（0，0.11）上的根

先看看不用迭代法计算的结果

from sympy import *
from sympy.abc import x

def func(x):
    return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
result = solveset(func(x), x, Interval(0, 0.11))
print(result)

结果：

FiniteSet(0.0623775815137495)

约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止

代码：

xl = 0  #区间下限
xu = 0.11  #区间上限
x = (xl+xu)/2  #迭代初始值
x_list = [x]
i = 0

while True:
    x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x
    x_list.append(x)
    if len(x_list) > 1:
        i += 1
        error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
        if error < 10**(-6):
            print(f'迭代第{i}次后，误差小于10^-6')
            break
    else:
        pass

结果：

迭代第777次后，误差小于10^-6
所求方程式的根为0.062370654088088

迭代至电脑默认误差为0

xl = 0  #区间下限
xu = 0.11  #区间上限
x = (xl+xu)/2  #迭代初始值
x_list = [x]
i = 0

while True:
    x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x
    x_list.append(x)
    if len(x_list) > 1:
        i += 1
        error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
        if error == 0:
            print(f'迭代第{i}次后，误差为0')
            break
    else:
        pass

print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')

结果：

迭代第3402次后，误差为0
所求方程式的根为0.062377581513749114

画迭代法

import matplotlib.pyplot as plt
xl = 0  #区间下限
xu = 0.11  #区间上限
x = (xl+xu)/2  #迭代初始值
x_list = [x]
i = 0

x_values = []
y_values = []
while True:
    x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x
    x_list.append(x)
    if len(x_list) > 1:
        i += 1
        error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
        x_values.append(i)
        y_values.append(error)
        if error == 0:
            print(f'迭代第{i}次后，误差为0')
            break
    else:
        pass

print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')

#设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
#处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
#坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
#横坐标是迭代次数
#纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
         y_values,
         color = 'steelblue', # 折线颜色
         marker = 'o', # 折线图中添加圆点
         markersize = 1, # 点的大小
         )
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()

结果：

迭代第3402次后，误差为0
所求方程式的根为0.062377581513749114

Python迭代法开方 迭代法求方程的根python_迭代_08

对比牛顿迭代法，牛顿迭代法要快很多，而且准确率也高
牛顿迭代法（Newton’s Method）迭代求根的Python程序