单高斯分布模型GSM


多维变量X服从高斯分布时，它的概率密度函数PDF为：

高斯混合模型分布的图形r语言 高斯混合模型聚类算法_GMM

x是维度为d的列向量，u是模型期望，Σ是模型方差。在实际应用中u通常用样本均值来代替，Σ通常用样本方差来代替。很容易判断一个样x本是否属于类别C。因为每个类别都有自己的u和Σ，把x代入（1）式，当概率大于一定阈值时我们就认为x属于C类。

从几何上讲，单高斯分布模型在二维空间应该近似于椭圆，在三维空间上近似于椭球。遗憾的是在很多分类问题中，属于同一类别的样本点并不满足“椭圆”分布的特性。这就引入了高斯混合模型。

高斯混合模型GMM

每个 GMM 由 

 个 Gaussian 分布组成，每个 Gaussian 称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数：每个 GMM 由 

GMM 的概率密度函数：

由于式子里的 

 和 

 也是需要我们估计的值，我们采用迭代法，在计算 

 的时候我们假定 

 和 

 均已知，我们将取上一次迭代所得的值（或者初始值）。

  • 估计每个 Component 的参数：现在我们假设上一步中得到的  就是正确的“数据 由 Component  生成的概率”，亦可以当做该 Component 在生成这个数据上所做的贡献，或者说，我们可以看作  这个值其中有  这部分是由 Component 所生成的。集中考虑所有的数据点，现在实际上可以看作 Component 生成了  这些点。由于每个 Component 都是一个标准的 Gaussian 分布，可以很容易分布求出最大似然所对应的参数值：
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其中 

 ，并且 

 也顺理成章地可以估计为 

 。

  • 重复迭代前面两步，直到似然函数的值收敛为止。当参数收敛，则创建出K个模型，如何使用这K个模型进行分类呢？GMM是一种聚类算法，每个component就是一个聚类中心。即在只有样本点，不知道样本分类（含有隐含变量）的情况下，计算出模型参数（π，u和Σ）----这显然可以用EM算法来求解。再用训练好的模型去差别样本所属的分类，方法是：step1随机选择K个component中的一个（被选中的概率是
    πk）；step2把样本代入刚选好的component，判断是否属于这个类别，如果不属于则回到step1。