写在前面：要学习深度学习，就不可避免要学习Tensorflow框架。初了解Tensorflow的基础知识，看到众多API，觉得无从下手。但是到了阅读完整项目代码的阶段，通过一个完整的项目逻辑，就会让我们看到的不只是API，而是API背后，与理论研究相对应的道理。除了Tens orflow中文社区的教程，最近一周主要在阅读DCGAN的代码（Github:https://github.com/carpedm20/DCGAN-tensorflow)。在阅读代码的过程中，遇到了很多问题，也学习了不少知识。接下来的篇幅，围绕DCGAN代码中出现的知识点，记录我的学习过程。
一.交叉熵(Cross Entropy)
交叉熵(Cross Entropy)是Shannon信息论中的一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。
公式如下：
其中，p表示真实标记的分布，q则为训练后的模型的预测标记分布。利用交叉熵，可以衡量p与q的相似性。交叉熵在神经网络中可以作为损失函数。
二.应用场景
在Tensorflow中，针对分类问题，定义了四个交叉熵函数，分别是:
1)tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits
2)tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits
3)tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits
4)tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits
1)tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits
[适用场景]：二分类或者多目标问题
二分类：将目标分为两类
多目标：例如，判断图片中是否包含10种动物。这10个分类之间是相互独立的，但不是相互排斥的。也就是说，图片中可以包含动物x，也可以包含动物y。对于每一个动物类别而言，其实也是一个二分类问题。与多目标问题不同的是，多分类问题要求这10个分类之间是相互排斥的。
[实际应用]：在DCGAN网络中，计算Discriminator和 Generator的 loss的时候，使用的是tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits。因为是判断输入Discriminator的数据是真实数据还是由Generator生成的数据，也就是判断数据是1还是0，相当于一个二分类问题。
[API]:tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits, targets, names=None)
定义：
`x = logits`, `z = targets`.
逻辑损失为：
z * -log(sigmoid(x)) + (1 - z) * -log(1 - sigmoid(x))
= z * -log(1 / (1 + exp(-x))) + (1 - z) * -log(exp(-x) / (1 + exp(-x)))
= z * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (-log(exp(-x)) + log(1 + exp(-x)))
= z * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (x + log(1 + exp(-x))
= (1 - z) * x + log(1 + exp(-x))
= x - x * z + log(1 + exp(-x))
当x<0的时候，为了避免exp(-x)溢出，将上述等式改为：
x - x * z + log(1 + exp(-x))
= log(exp(x)) - x * z + log(1 + exp(-x))
= - x * z + log(1 + exp(x))
因此，将x>0与x<0时的情况统一起来可以得到：
max(x, 0) - x * z + log(1 + exp(-abs(x)))
Args:
logits: 未经sigmoid缩放的输入logits，即类型为float32或者float64，shape为[batch_size,num_classes]的tensor。
targets: 目标targets，即与logits具有相同类型和shape的tensor。
name: 操作的名称（可选）。
Returns:
计算得到的sigmoid交叉熵，即与logits具有相同shape的tensor。
Raises:
ValueError:如果logits和targets的shape不同，则会抛出异常。
代码举例：
# coding:utf-8
import tensorflow as tf
def sigmoid_cross_entropy_with_logits(x, y):
try:
return tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=x, labels=y)
except:
return tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=x, targets=y)
def main(_):
logits = [[0.5,0.7,0.3],[0.8,0.2,0.9]]
loss = sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits, tf.ones_like(logits))
sess = tf.Session()
print sess.run(loss)
if __name__ == '__main__':
tf.app.run()运行结果为：
注意事项：
（1）输入logits是未经缩放的，该操作内部会对logits使用sigmoid操作。
（2）logits和labels(targets)必须具有相同的shape。
2)tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits
[适用场景]:多分类问题
也就是将输入分为多类，每一类都是相互排斥的。
[实际应用]:例如，在tensorflow的cifar10示例中，判断图片的动物具体是哪一种，只能是某一种类型。
[API]:softmax_cross_entropy_with_logits(logits, labels, dim=-1, name=None)
Args:
logits: 未经softmax缩放的输入logits，即类型为float16，float32或者float64，shape为[batch_size,num_classes]的tensor。
labels: 目标targets，即与logits具有相同类型和shape的tensor。
dim: 分类的类别所在的维度。默认为-1,也就是最后一维。
name: 操作的名称（可选）。
Returns:
计算得到的softmax交叉熵，也就是一维tensor，与输入的logits中的batch_size大小相同。
代码举例：
# coding:utf-8
import tensorflow as tf
def main(_):
logits = [[2,0.5,1],[0.1,1,3]]
labels = [[0.2,0.3,0.5],[0.1,0.6,0.3]]
logits_scaled = tf.nn.softmax(logits)
result1 = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(logits=logits,labels=labels)
result2 = -tf.reduce_sum(labels*tf.log(logits_scaled),1)
result3 = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(logits=logits_scaled,labels=labels)
with tf.Session() as sess:
print '直接使用API计算softmax交叉熵：'
print sess.run(result1)
print '\n'
print '利用原理计算softmax交叉熵：'
print sess.run(result2)
print '\n'
print '错误！将logits输入事先用softmax缩放：'
print sess.run(result3)
if __name__ == '__main__':
tf.app.run()运行结果：
3)tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits
[应用场景]:多分类问题
tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits是 tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits的易用版本，除了输入参数不同，作用和算法实现都是一样的。前面提到softmax_cross_entropy_with_logits的输入必须是类似onehot encoding的多维特征，但是CIFAR-10，ImageNet和大部分分类场景都只有一个分类目标，label都是从0编码的整数，每次转成one hot encoding比较麻烦。那么，就可以使用tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits，直接使用类别索引作为labels，而不用转为one hot encoding。
例如：类别2,在softmax_cross_entropy_with_logits中labels可以表示为[0,0,1]；在sparse_softmax_cross_entropy_with_logits中labels可以表示为2。
[API]:sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(logits, labels, name=None)
Args:
logits:未经softmax缩放的输入logits，即类型为float32或者float64，shape为[d_0, d_1, ..., d_{r-2}, num_classes]的tensor。
labels: 标签，即类型为int32或者int64，shape为[d_0, d_1, ..., d_{r-2}]的tensor 。[d_0, d_1, ..., d_{r-2}]代表batch_size。labels中的每一项都必须是范围为[0, num_classes)的索引，也就是代表label是属于哪一类的。
name: 操作的名称（可选）。
Returns:
表示softmax交叉熵的tensor。与labels具有相同的shape，也就是batch_size。与输入logits具有相同的类型。
代码举例：
# coding:utf-8
import tensorflow as tf
def main(_):
logits = [[2,0.5,1],[0.1,1,3]]
labels = [[0,1,0],[0,0,1]]
labels2 = [1,2]
result= tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(logits=logits,labels=labels)
result2= tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(logits=logits,labels=labels2)
with tf.Session() as sess:
print 'softmax_cross_entropy_with_logits,输入logits:[[0,1,0],[0,0,1]]'
print sess.run(result)
print'\n'
print 'sparse_softmax_cross_entropy_with_logits,输入logits：[1,2]'
print sess.run(result2)
if __name__ == '__main__':
tf.app.run()运行结果：
4)tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits
[应用场景]:tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits是tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits的扩展版，输入参数和实现与后者类似，不同之处在于增加了一个pos_weight参数，目的是可以增加或者减小正样本在计算Cross Entropy时的loss。
[API]:weighted_cross_entropy_with_logits(logits, targets, pos_weight, name=None):
在前面介绍tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits时，已经提到过，一般计算交叉熵的方法为：
targets * -log(sigmoid(logits)) + (1 - targets) * -log(1 - sigmoid(logits))
pos_weight用于正样本的loss计算项上：
targets * -log(sigmoid(logits)) * pos_weight +(1 - targets) * -log(1 - sigmoid(logits))
展开来就是：
qz * -log(sigmoid(x)) + (1 - z) * -log(1 - sigmoid(x))
= qz * -log(1 / (1 + exp(-x))) + (1 - z) * -log(exp(-x) / (1 + exp(-x)))
= qz * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (-log(exp(-x)) + log(1 + exp(-x)))
= qz * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (x + log(1 + exp(-x))
= (1 - z) * x + (qz + 1 - z) * log(1 + exp(-x))
= (1 - z) * x + (1 + (q - 1) * z) * log(1 + exp(-x))
令l = (1 + (q - 1) * z)，为了避免溢出，最终实现为：
(1 - z) * x + l * (log(1 + exp(-abs(x))) + max(-x, 0))
`logits` 和 `targets`必须具有相同的类型和shape。
Args:
logits: 输入logits，即类型为float32或者float64，shape为[batch_size,num_classes]的tensor。
targets: 与logits具有相同类型和shape的tensor。
pos_weight: 系数，用于正样本上。
name: 操作名称（可选）。
Returns:
与logits具有相同shape的损失tensor。
Raises:
ValueError:如果logits和targets的shape不同，则会抛出异常。
代码举例：
# coding:utf-8
import tensorflow as tf
def main(_):
logits = [[0.5,0.7,0.3],[0.8,0.2,0.9]]
loss = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits, tf.ones_like(logits))
loss2 = tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits(logits, tf.ones_like(logits), 0.2)
loss3 = tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits(logits, tf.ones_like(logits), -0.2)
with tf.Session() as sess:
print 'sigmoid_cross_entropy_with_logits,没有pos_weight:'
print sess.run(loss)
print'\n'
print 'weighted_cross_entropy_with_logits,正的pos_weight:'
print sess.run(loss2)
print'\n'
print 'weighted_cross_entropy_with_logits,负的pos_weight:'
print sess.run(loss3)
if __name__ == '__main__':
tf.app.run()运行结果：
三.总结
我们可以根据业务需求（分类目标是否独立或者互斥）来选择基于sigmoid或者softmax的实现。在这两大类里面，再根据实际需求来选择使用tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits或者tf.nn.weighted_sigmoid_cross_entropy_with_logits，tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits或者tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits。
浅显解读，更深层次，移步Tensorflow官方文档。
