python 时间序列相关性分析 时间序列的相关性

时间序列指由有时间先后顺序组成的一组时间变量。分析时间序列的前提假设是，时间序列具有自相关性， 通过这种自相关性，从而通过过去推测未来，如果某个时间序列没有自相关性，那么根据过去推测未来就毫无意义。

自协方差

随机变量$X_t$,在时间点$k,k-l$,取之分别为$X_k,X_{k-l}$, $l$阶自协方差的表达式：
$\gamma_l = \mathbb E[(X_k-\mu_k)(X_{k-l}-\mu_{k-l})]=Cov(X_k,X_{k-l}), l=0,1,2...$

自相关系数

$\rho_l = \frac{Cov(X_k,X_{k-l})}{Var(X_k)}=\frac{\gamma_l}{\gamma_0}$

偏自相关系数

在计算昨天对今天的影响的时候，其实前天对昨天的影响也间接影响了今天，大前天对前天和昨天的影响也间接影响了今天。以此类推，计算t和t-1期的相关性时，不单纯是昨天的影响，也包含了之前所有各期的信息对今天的间接影响。所以为了衡量过去单期（一天）对今天的影响，我们引入偏相关性的概念，用于剔除更早之前的信息对现在的影响。

$\rho_ll = Corr(X_k,X_{k-l}|X_{k-1},X_{k-2},...,X_{k-l+1})$

平稳性

如果时间序列的基本特性保持不变，我们就称该时间序列是平稳的。

强平稳

设$\{X_t\}$为一时间序列，对于任意正整数n，任取$t_1,t_2,...,t_n \in T$, 对任意$\tau$

$F_X(x_{t_1},x_{t_2},...x_{t_n})=F_X(x_{t_{1+\tau}},x_{t_{2+\tau}},...x_{t_{n+\tau}})$

即时间序列中任何时段的联合分布都是相同的，则称这个时间序列是请平稳的。这个条件过于苛刻，实际中很难应用。

弱平稳

假设$\{X_t\}$是一个时间序列，如果$\{X_t\}$满足如下三个条件：
（1） 任取$t \in T$，有$\mathbb E(X_t)=\mu$,即序列的均值为常数
（2） 任取$t \in T$，有$\mathbb E(X_t^2) <\infin$
（3） 任取$t \in T$，对任意整数h，任意阶数l，有$\gamma_l(t)=\gamma_l(t+h)$，即t时点的自协方差与t+h时点的自协方差相等。也就是说，l阶自协方差不随t值改变。

一般说树间序列平稳，都是指弱平稳性。

单位根检验

如果一个序列是非平稳的，经过d次差分，可以将其转换成平稳序列，则称此序列为$I(d)$，其中I指整合（Integrated），d为整合阶数。比如：
$x_t=x_{t-1}+\epsilon_t$
其中$x_0=0, \epsilon_t \sim N(0,\sigma_\epsilon^2)$
可以根据计算得到：
$\mathbb E(x_t)=\mathbb E(x_{t-1})=...=\mathbb E(x_1)=\mathbb E(x_0+\epsilon_1)=0$
$Var(x_t)=Var(x_{t-1})+\sigma_\epsilon^2=...=t\sigma_\epsilon^2$
因为$x_t$的方差会随和时间t发生改变，因此该时间序列是非平稳。不过$x_t$经过一阶差分后$\Delta x_t=x_t-x_{t-1}=\epsilon_t$,因此$x_t$为非平稳的I(1)序列。
一个时间序列是否平稳可以借助之后蒜子多项式方差的根来判断。滞后算子L，比如对时间序列{x_t}运用滞后算子可得$Lx_t=x_{t-1}, L^2x_t=x_{t-2},...$

将一个序列$y_t$一般化的表示为
$y_t = \gamma + \rho_1y_{t-1}+ \rho_2y_{t-2}+ ... + \rho_p y_{t-p}+\epsilon_t$
$\epsilon_t \sim IID(0,\sigma_\epsilon ^2)$
借助滞后算子，将上面的模型改写成：
$y_t = \gamma +\rho_1Ly_t+\rho_2 L^2y_t+ ...+\rho_pL^py_t+\epsilon_t$
$\gamma +\epsilon_t = (1-\rho_1L -\rho_2L^2-...-\rho_pL^p)y_t$
对应的滞后算子多项式方程为：
$1-\rho(L)=(1-\rho_1L -\rho_2L^2-...-\rho_pL^p)=0$

如果$1-\rho(L)=0$所有根的绝对值都大于1，那么时间序列$y_t$为平稳的时间序列。如果$1-\rho(L)=0$存在单位根，即L=1，那么时间序列$y_t$就是非平稳，对该时间序列的未来值的预测就难以进行

常见的单位根检验的方法有DF(Dickey-Fuller Test)检验，ADF检验(Augmented Dickey_Fuller Test)，PP检验(Phillips-Perron test)。

白噪声

如果一个随机过程中任意时点t的变量$X_t$的均值和方差，协方差分别满足以下公式：
$\mathbb E(X_t)=0$
$Var(X_t)=\sigma^2$
$\gamma_l=0,l>0$
则称这个随机过程为白噪声过程。白噪声过程中各期变量之间的协方差为0，也就是白噪声过程是没有相关性的。这种时间序列也可以称为纯随机序列。
如果白噪声过程中的个变量独立同分布，且都服从正态分布，则该序列被称为高斯白噪声过程。根据定义，高斯白噪声过程是强平稳的时间序列，而且各期之间不仅不相关，而且互相独立。

白噪声检验

通常使用Ljung-Box检验，检验的原假设为所检验的序列是纯随机序列，Q统计量为：
$Q(m) = n(n+2)\sum _{k=1}^m \frac{\rho_k^2}{n-k} \sim \chi^2_m$
其中，$\rho^2_k$是序列的k阶自相关系数，n是整个序列中观测值的个数，m是设定的滞后阶数。
在检验一个时间序列在m界内是否是白噪声，只有当Q(1),Q(2),…,Q(m)这m个Q统计量都小于对应的$\chi^2$分布的临界值时，才说嘛这个序列在所检验的m阶内是纯随机序列。