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深度学习基础 - 单位向量

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有向线段-》向量-》向量放到坐标轴里-》计算向量的长度-》单位向量-》三角函数表示向量的分量

空间中的向量

有向线段${AB}$有起点A和终点B；加上箭头就是向量$\vec{AB}$，或者$\vec{v}$,或者$\vec{a}$

将向量放到坐标轴里，A和B这两个点都有各自的坐标

$A=(1, 2)$

$B = (5, 6)$

如果平面上的一个向量$\vec{v}$等于起点在原点$(0,0)$,终点在$(v_1,v_2)$的向量,则向量$\vec{v}$的分量形式是$\vec{v}=<v_1,v_2>$

这样一个平面向量也就是实数的有序对$<v_1,v_2>$,数$v_1$和$v_2$是v的分量，

向量的长度也叫向量的模

$\begin {aligned} |\vec{v}|=\sqrt{(v_1)^2+(v_2)^2} =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2- y_1)^2} \end {aligned}$

或者说2范数

$\begin {aligned} {\displaystyle \left\|{ {X}}\right\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.} \end {aligned}$

假如向量是$\vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right)$ 那么计算向量长度的方法是

$\|\vec{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$

举例说明 $\vec{v}=(4,2)$.

$v_{1}=4$ 和 $v_{2}=2$ 计算过程是

$\|\vec{v}\|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}$

双竖线与数的绝对值区分

单位向量

单位向量（Unit Vector）就是长度为1的向量

有了单位向量就可以度量其他向量
这里的符号是小写的字母a的头上再戴一顶帽子，读作 a hat

比例

向量a相当于单位向量2.5倍，方向仍然不变

任何平面向量$\vec{v}=<a,b>$都可以写成 标准单位向量$i=<1,0>$和 $j=<0,1>$

线性组合

$\begin {aligned} \vec{v}&=<a,b>\newline &=<a,0>+<0,b>\\ &=a<1,0>+b<0,1>\\ &=ai+bj \end {aligned}$

假如有这样的向量

$\vec{v}=\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \end{bmatrix}$

用图表示

向量是有大小和方向的， 图中的magnitude表示有多长

一维的单位向量通常写$i$

图中红色的是单位向量，标记为 $i$。
用单位向量表示另外两个向量分别是$2i$ 和$7i$

二维的单位向量

$x$ 方向的一个单位向量 $i$和 $y$ 方向的一个单位向量 $j$。

可以用单位向量 $i$ 和 $j$ 表示出任意二维向量。下图可以通过数方格的个数，看大小.

可以这样写出向量的分量

$V_x =6i$

$V_y =3j$

用单位向量表示出向量V$

$V= 6i+3j$

向量a相当于 在x轴移动2个“x”的单位向量

和在y轴移动1.3个“y”的单位向量

$\begin{aligned} \\ v &= 2i - 0.5j \\\\ &= 2\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \end{bmatrix} - 0.5\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 \\\\ 2 \cdot 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0.5 \cdot 0 \\\\ 0.5 \cdot 1 \end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix} 2 \\\\ -0.5 \end{bmatrix} \end{aligned}$

一维的情况下，单位向量$i$ 也就是向量的基底${i}$,也叫坐标向量
二维的情况下，单位向量$i,j$ 也就是向量的基底${i,j}$
三维的情况下，单位向量$i,j,k$ 也就是向量的基底${i,j,k}$

坐标轴上以原点为圆心，以 1 为半径画一个圆

蓝色和红色都是单位向量，蓝色为标准单位向量

若$\vec{v}=<v_1,v_2>$与正x轴形成角$\theta$则

单位向量$\left | \vec{v} \right | =1$

$v1=\left | v \right | \cos \theta =\cos \theta$

$v2=\left | v \right | \sin \theta =\sin \theta$

与正$x$轴形成角 $\theta$ 的单位向量v表示为
$\vec{v}=<\cos \theta,\sin \theta>$