倾斜转DEM

转动惯量，对于大多数人可能都很难理解，这个问题也困惑博主很久，最近本人需要用到建模知识，在回顾大学物理时重新学习了什么是转动惯量，同时也是参考了几篇博文和知乎文章才基本理解。本人秉持着“输出是最好的学习方法”，将转动惯量的理解写下来，也供大家参考，若有出错之处，务必指正！

目录

• 概念
• 物理意义
• 公式
• 平动和转动中物理量关系
• 参考

概念

转动惯量是表征刚体转动惯性大小、衡量刚体抵抗旋转运动的惯性的物理量。其地位相当于刚体平动中的质量，它与刚体的质量以及质量相对于转轴的分布有关。

物理意义

直接理解转动惯量比较抽象，但是我们可以用我们最常见、最直观的质量来做类比。

如果我们用同样的力在两个质量不同的物体上作用，质量重的那个物体速度变化慢。因此质量的物理意义为可以反映出物体平动状态下的惯性：质量越大，则惯性越大，即越难改变平动运动时它的运动状态（从静止开始，质量大的物体比质量小的物体更难被加速）。

同理，如果我们用同样的力矩（使物体平动的叫力，使物体转动的叫力矩）作用在物体上想让它转动，不同的物体转动的角速度变化（类似于平动中的加速度）的快慢也不同，影响角速度变化快慢的这个因素就是转动惯量。即转动惯量反映物体转动下的惯性：转动惯量大的物体角速度难于被改变。

公式

$J=\int _m r^2dm$
其中：$J$为刚体的转动惯量，$dm$是每一个微元的质量，$r$为每一个微元到转轴的距离。
1、相同质量的物体，质量的分布（每一个微元距转轴的距离）如果不同，其转动惯量也不同。
2、质量分布均匀地物体，质量不同其转动惯量也不同。

假设有这样两个物体，质量大小体积完全相同，阴影部分密度比空白部分大。但是你把他们放在坡度相同的坡面上会发现他们滚动的速度变化不一样，右边那个角速度变化更快，这是为什么呢？答案就是因为它的质量集中在转动轴，根据转动惯量的公式，右边那个转动惯量小角速度变化自然就大。

平动和转动中物理量关系

刚体平动	刚体转动	关系
质量：$m=\int_m dm$	转动惯量：$J=\int_m r^2dm$($r$是每个微元到转轴的距离)
位移：$x$	角位移：$\theta$	$x=r \theta$
速度：$v=\frac{dx}{dt}$	角速度：$\omega =\frac{d\theta}{dt}$	$v=r\omega$
加速度：$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$	角加速度：$\beta=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$	$a=r\beta$
动量：$P=mv$(动量守恒)	角动量$L=J\omega$(角动量守恒)
力：$F=\frac{dP}{dt}=ma$	力矩：$M=\frac{dL}{dt}=J\beta$	$M=r\times F(叉乘)$

参考

1、转动惯量 2、知乎 3、刚体的转动（包含转动惯量的推导） 4、动量守恒定律与能量守恒定律