LDA模型算法简介：
算法 的输入是一个文档的集合D={d1, d2, d3, ... , dn}，同时还需要聚类的类别数量m；然后会算法会将每一篇文档 di 在 所有Topic上的一个概率值p；这样每篇文档都会得到一个概率的集合di=（dp1，dp2，..., dpm）；同样的文档中的所有词也会求出 它对应每个Topic的概率，wi = （wp1，wp2，wp3，...，wpm）；这样就得到了两个矩阵，一个文档到Topic，一个词到Topic。
这样LDA算法，就将文档和词，投射到了一组Topic上，试图通过Topic找出文档与词间，文档与文档间，词于词之间潜在的关系；由于LDA属于无监督算法，每个Topic并不会要求指定条件，但聚类后，通过统计出各个Topic上词的概率分布，那些在该Topic上概率高的词，能非常好的描述该Topic的意义。
LDA模型构建原理：
在讲LDA模型之前，会先介绍下 Unigram Model （词袋模型）、Bayes Unigram Model（贝叶斯词袋模型），以及PLSA 概率潜在语义分析，之所以先介绍这些模型，首先它们是LDA模型的基础，LDA是将它们组合和演变的结果；其次这些模型比简单，了解起来会容易些。
1、Unigram Model（词袋模型）
LDA既然是聚类算法，而聚类算法大多数时候，都在寻找两个东西的相似度。
最开始，大家想要判断两篇文档是否相似，最简单直接的方法就是看文档里出现的词是否一样，其个数是否相近。于Unigram Model（词袋模型）就是实现这样的思路设计的。所以为了得到文档集合中，所有文档的共性的规律，词袋模型，假设：一篇文档生成的过程就是 独立的抛一个具有M面的骰子（M是所有词的个数），N次（N是该文档里词的个数），这样文档的生成，刚好可以看作是个多项式分布：
文档集合中，每个词出现的概率就是要求的参数，通过EM算法可以确定下来，这样就得到了模型。
2、Bayes Unigram Model（贝叶斯词袋模型）
在词袋模型中，我们简单的认为文档里每个词出现的概率是个定数（即骰子的每个面的概率），但Bayes学派不这么认为，他们认为这些概率应该是一个随机过程产生的，于是生成一篇文档的过程可以描述为：先随机抽取一个M面的骰子， 再用这个骰子独立抛N次。那么这个模型的分布如下：
其中后边部分
，是多项式分布，我们已经知道，为了方便计算我们假设
为Dirichlet分布，它是多项式分布的共轴分布
简单介绍下 Dirichlet 分布：比如 抛了100次骰子，得到6个面的一个概率，记为一个实验，重复这个实验100次，那么这100次的实验中，这6个面的概率的概率分布，就是Dirichlet分布，它是分布之上的分布。
例如：1点（骰子六个面之一） 在这100次实验（每个实验抛100次） 是 0.15的概率为 0.12，实际我们这么想，100次实验中，有12次，1点在一个实验内出现了15次，可以看作是总共抛10000次，1点出现15×12=180次。这10000次实验，视为一个大的多项式分布，于是可以得出他们有相同的概率分布公式，这就是前面所提到的共轴分布，且有如下性质：
先验的Dirichlet分布+多项式分布 = 后验的Dirichlet分布
上述的例子中，你会发现，它与我们的Bayes Unigram Model（贝叶斯词袋模型）已经很相似了。一个实验里的100次抛骰子，可以看作是先验的Dirichlet分布，也就是模型中确定骰子各个面概率的那个随机过程，而重复这个这个实验100次，可以看作是后面的根据这个骰子确定文档的一个过程。
Dirichlet分布还有一个重要的性质，它的最大似然估计可以通过如下公式，证明过程有些复杂，暂不推导了：
3、PLSA潜在语义分析
在文本聚类的时候，常常会遇到这样一种问题：例如在NBA的相关新闻中提到“石佛”，和提到“邓肯”它们应该是指的同一个人，确实两个不同的词；而另一篇关于教育的新闻里也提到了“邓肯”，但此“邓肯”非彼“邓肯”，它可能指的是美国教育部部长“阿恩·邓肯”；而这两篇NBA新闻和一篇教育新闻，很可能就被错误的聚类了。
于是，可以发现词在不同的语义环境下，同一个词可能表达不同意思，而同一个意思可能产生不同的词。PLSA潜在语义分析，就是为了解决这样的问题。它在文档和词之间加了一层主题（Topic），先让文档和主题产生关联，再在主题中寻找词的概率分布。
PLSA模型将文档的生成这样设计：第一步，我们抛一个有H面的骰子，每个面代表一个主题，各个面概率不一，得到一个主题；第二步，这个主题又对应了一个有T个面的骰子，每个面代表一个词，抛这骰子N次，得到一篇文章。其实我觉得这个模型可以看作是两个词袋模型的组合，第一个做一次，确定主题，第二个重复独立做N词，确定文章。下面是一个直观图（借用LDA数学八卦的图了）：
这样概率分布公式如下：
LDA主题聚类模型
这时Bayes学派的朋友们又出现，历史是如此的相似，他们又对PLSA下手了，认为PLSA里面的两种骰子（产生主题的骰子和主题对应词的骰子），各个面的概率都不应该是确定，应该由一个随机过程来得出。于是让PLSA的两个词袋模型，变成两个Bayes词袋模型，就是LDA了
前面已经介绍了，Bayes词袋模型的概率分布是一个Dirichlet 同轴分布，LDA 的整个物理过程实际就是两个Dirichlet 同轴分布，而 LDA 模型的参数估计也就出来了，通过那个重要的性质，如下：
LDA 算法设计 与Gibbs Sampling
算法步骤：
1. 对文档集合中的每篇文档d，做分词，并过滤掉无意义词，得到语料集合W = {w1, w2, …, wx}。
2. 对这些词做统计，得到 p（wi|d）。
3. 为语料集合W中的每个 wi ，随机指定一个主题 t，作为初始主题。
4. 通过 Gibbs Sampling 公式， 重新采样 每个 w 的所属 主题t， 并在语料中更新 直到Gibbs Sampling 收敛。
收敛以后得到 主题-词 的概率矩阵，这个就是LDA矩阵，而 文档-主题的的概率矩阵也是能得到的，统计后，就能能得到文档-主题的概率分布。
Gibbs Sampling 公式：
Gibbs Sampling 公式，可以用于计算 某x维度的空间中，两个平行点之间转移的概率。 比如在 二维空间（x, y平面），点a（x1，y1） 转移到 b（x1，y2）的概率记为P，P（a ->b） = p(y2|x1 )
于是上述中第4步，可以视为我们将一个词对应的 文档和Topic的概率 看作是一个点在二维平面里的两个维度，词在不同的文档和不同的主题里，通过Gibbs Sampling公式，不断的转移（即重新采样），直至收敛。 下面是Gibbs Sampling公式收敛的一个图，可以给大家一个直观印象（来自LDA数学八卦）。
LDA（Latent Dirichlet Allocation）学习笔记
示例
LDA要干的事情简单来说就是为一堆文档进行聚类（所以是非监督学习），一种topic就是一类，要聚成的topic数目是事先指定的。聚类的结果是一个概率，而不是布尔型的100%属于某个类。国外有个博客[1]上有一个清晰的例子，直接引用：
Suppose you have the following set of sentences:
- I like to eat broccoli and bananas.
- I ate a banana and spinach smoothie for breakfast.
- Chinchillas and kittens are cute.
- My sister adopted a kitten yesterday.
- Look at this cute hamster munching on a piece of broccoli.
What is latent Dirichlet allocation? It’s a way of automatically discovering topics that these sentences contain. For example, given these sentences and asked for 2 topics, LDA might produce something like
- Sentences 1 and 2: 100% Topic A
- Sentences 3 and 4: 100% Topic B
- Sentence 5: 60% Topic A, 40% Topic B
- Topic A: 30% broccoli, 15% bananas, 10% breakfast, 10% munching, … (at which point, you could interpret topic A to be about food)
- Topic B: 20% chinchillas, 20% kittens, 20% cute, 15% hamster, … (at which point, you could interpret topic B to be about cute animals)
上面关于sentence 5的结果，可以看出来是一个明显的概率类型的聚类结果（sentence 1和2正好都是100%的确定性结果）。
再看例子里的结果，除了为每句话得出了一个概率的聚类结果，而且对每个Topic，都有代表性的词以及一个比例。以Topic A为例，就是说所有对应到Topic A的词里面，有30%的词是broccoli。在LDA算法中，会把每一个文档中的每一个词对应到一个Topic，所以能算出上面这个比例。这些词为描述这个Topic起了一个很好的指导意义，我想这就是LDA区别于传统文本聚类的优势吧。
LDA整体流程
先定义一些字母的含义：
- 文档集合D，topic集合T
- D中每个文档d看作一个单词序列< w1,w2,...,wn >，wi表示第i个单词，设d有n个单词。（LDA里面称之为word bag，实际上每个单词的出现位置对LDA算法无影响）
- D中涉及的所有不同单词组成一个大集合VOCABULARY（简称VOC）
LDA以文档集合D作为输入（会有切词，去停用词，取词干等常见的预处理，略去不表），希望训练出的两个结果向量（设聚成k个Topic，VOC中共包含m个词）：
- 对每个D中的文档d，对应到不同topic的概率θd < pt1,..., ptk >，其中，pti表示d对应T中第i个topic的概率。计算方法是直观的，pti=nti/n，其中nti表示d中对应第i个topic的词的数目，n是d中所有词的总数。
- 对每个T中的topic t，生成不同单词的概率φt < pw1,..., pwm >，其中，pwi表示t生成VOC中第i个单词的概率。计算方法同样很直观，pwi=Nwi/N，其中Nwi表示对应到topic t的VOC中第i个单词的数目，N表示所有对应到topic t的单词总数。
LDA的核心公式如下：
p(w|d) = p(w|t)*p(t|d)
直观的看这个公式，就是以Topic作为中间层，可以通过当前的θd和φt给出了文档d中出现单词w的概率。其中p(t|d)利用θd计算得到，p(w|t)利用φt计算得到。
实际上，利用当前的θd和φt，我们可以为一个文档中的一个单词计算它对应任意一个Topic时的p(w|d)，然后根据这些结果来更新这个词应该对应的topic。然后，如果这个更新改变了这个单词所对应的Topic，就会反过来影响θd和φt。
LDA算法开始时，先随机地给θd和φt赋值（对所有的d和t）。然后上述过程不断重复，最终收敛到的结果就是LDA的输出。
