例子1：抽球
举个通俗的例子：假设一个袋子装有白球与红球，比例未知，现在抽取10次（每次抽完都放回，保证事件独立性），假设抽到了7次白球和3次红球，在此数据样本条件下，可以采用最大似然估计法求解袋子中白球的比例（最大似然估计是一种“模型已定，参数未知”的方法）。当然，这种数据情况下很明显，白球的比例是70%，但如何通过理论的方法得到这个答案呢？一些复杂的条件下，是很难通过直观的方式获得答案的，这时候理论分析就尤为重要了，这也是学者们为何要提出最大似然估计的原因。我们可以定义从袋子中抽取白球和红球的概率如下：
x1为第一次采样，x2为第二次采样，f为模型, theta为模型参数
其中theta是未知的，因此，我们定义似然L为：
L为似然的符号
两边取ln，取ln是为了将右边的乘号变为加号，方便求导。
两边取ln的结果，左边的通常称之为对数似然。
这是平均对数似然
最大似然估计的过程，就是找一个合适的theta，使得平均对数似然的值为最大。因此，可以得到以下公式：
最大似然估计的公式
这里讨论的是2次采样的情况，当然也可以拓展到多次采样的情况：
最大似然估计的公式（n次采样）
我们定义M为模型（也就是之前公式中的f），表示抽到白球的概率为theta，而抽到红球的概率为(1-theta)，因此10次抽取抽到白球7次的概率可以表示为：
10次抽取抽到白球7次的概率
将其描述为平均似然可得：
10次抽取抽到白球7次的平均对数似然，抽球的情况比较简单，可以直接用平均似然来求解
那么最大似然就是找到一个合适的theta，获得最大的平均似然。因此我们可以对平均似然的公式对theta求导，并另导数为0。
求导过程
由此可得，当抽取白球的概率为0.7时，最可能产生10次抽取抽到白球7次的事件。
例子2：正态分布
假如有一组采样值（x1,...,xn），我们知道其服从正态分布，且标准差已知。当这个正态分布的期望为多少时，产生这个采样数据的概率为最大？
这个例子中正态分布就是模型M，而期望就是前文提到的theta。
似然
正态分布的公式，当第一参数（期望）为0，第二参数（方差）为1时，分布为标准正态分布
似然值
对上式求导可得
综上所述，可得求解最大似然估计的一般过程为：
1. 写出似然函数；
2. 如果无法直接求导的话，对似然函数取对数；
3. 求导数 ；
4. 求解模型中参数的最优值。
