子矩阵 python 子矩阵的秩小于原矩阵

矩阵秩的其它重要关系

1. 矩阵由两个子矩阵的列向量构成，则秩大于等于子矩阵， $max(rank A , rank B) \leq rank (A \quad B)$ 。$rank (A \quad B)$ 是矩阵 $A$ 列向量和矩阵 $B$ 列向量的并集张成空间的维度，显然大于任一子集的维度。什么时候取等号呢？假设 $rank A = rank (A \quad B)$ 则矩阵 $B$ 列向量显然都能由矩阵 $A$ 列向量生成，即存在矩阵 $X$ 使 $AX=B$

重要性质 矩阵方程 $AX=B$

2. 矩阵由两个子矩阵的行向量构成，则秩大于等于子矩阵， $max(rank A , rank B) \leq rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])$ 。$rank A = rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])$ 时矩阵 $B$ 行向量显然都能由矩阵 $A$ 行向量生成，即存在矩阵 $X$ 使 $XA=B$

重要性质 矩阵方程 $XA=B$ 有解的充分必要条件是 $rank A = rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])$

3. 矩阵由两个子矩阵的列向量构成，则秩小于等于子矩阵秩之和， $rank (A \quad B) \leq rank A + rank B$ 。令矩阵 $A$ 列向量组为 $A=[ \mathbf{a_1},\cdots, \mathbf{a_n}]$ ，矩阵 $B$ 列向量组为 $B=[ \mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{b_p}]$ ，则 $rank (A \quad B)$ 等于向量组 $[ \mathbf{a_1},\cdots, \mathbf{a_n}, \mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{b_p}]$ 张成空间的维度，其维度显然小于等于矩阵 $A$ 列向量组张成空间维度与矩阵 $B$ 列向量组张成空间维度之和，故不等式成立 。 什么时候取等号呢？显然矩阵 $A$ 列向量组的极大无关组和矩阵 $B$
4. 矩阵由两个子矩阵的行向量构成，则秩小于等于子矩阵秩之和， $rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right]) \leq rank A + rank B$ 。令矩阵 $A$ 行向量组为 $A=[ \mathbf{a^T_{r1}},\cdots, \mathbf{a^T_{rm}}]$ ，矩阵 $B$ 行向量组为 $B=[ \mathbf{b^T_{r1}},\cdots, \mathbf{b^T_{rn}}]$ ，则 $rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])$ 等于行向量组 $[ \mathbf{a^T_{r1}},\cdots, \mathbf{a^T_{rm}}, \mathbf{b^T_{r1}},\cdots, \mathbf{b^T_{rn}}]$ 张成空间的维度，其维度显然小于等于矩阵 $A$ 行向量组张成空间维度与矩阵 $B$ 行向量组张成空间维度之和，故不等式成立 。什么时候取等号呢？显然矩阵 $A$ 行向量组的极大无关组和矩阵 $B$
5. 矩阵和的秩小于等于矩阵秩之和，即 $rank (A+B) \leq rank A + rank B$ 。
   证：令矩阵 $A$ 列向量组为 $A=[ \mathbf{a_1},\cdots, \mathbf{a_n}]$ ，矩阵 $B$ 列向量组为 $B=[ \mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{b_n}]$ ，则 $rank (A + B)$ 等于向量组 $[ \mathbf{a_1}+\mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{a_n}+\mathbf{b_n}]$ 张成空间的维度，其维度显然小于等于矩阵 $A$ 列向量组张成空间维度与矩阵 $B$ 列向量组张成空间维度之和，故不等式成立。什么时候取等号呢？ $rank A + rank B = rank (A+B) \leq rank （A \quad B) \leq rank A + rank B$ ，这意味着 $rank （A \quad B) = rank A + rank B$ ，所以矩阵 $A,B$ 列空间只在原点相交。同理， $rank A + rank B = rank (A+B) \leq rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right]) \leq rank A + rank B$ ，这意味着 $rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right]) = rank A + rank B$ ，所以矩阵 $A,B$ 行空间只在原点相交。所以，$rank (A+B) = rank A + rank B$ 时，矩阵 $A,B$
6. $Sylvester$ 不等式，即对任意矩阵 $A_{mn},B_{np}$ ， $rank AB \geq rank A + rank B - n$ 成立。
   若取 $AB=\mathbf{O}$ ，得 $rank A + rank B \leq n$ 不等式。
   证：令矩阵 $B$ 列向量组的极大无关组中有 $k$ 个向量位于矩阵 $A$ 的零空间，则 $rank AB = rank B - k$ ，又矩阵 $A$ 零空间维度是 $n-rank A$ ，所以 $k \leq n-rank A$ ，则 $rank AB = rank B - k \geq rank B - (n-rank A) = rank A + rank B - n$ 。等号当 $k = n-rank A$ 时成立，即矩阵 $B$ 列向量组的极大无关组包含矩阵 $A$ 零空间的基，或者说，矩阵 $A$ 零空间位于矩阵 $B$
7. $Frobenius$ 不等式，即对任意矩阵 $A_{mn},B_{np},C_{pq}$ ， $rank AB + rank BC \leq rank ABC + rank B$ 成立。
   若取 $B=E_n$ ，得 $Sylvester$ 不等式。若取 $C=\mathbf{O}$ ，得 $rank AB \leq rank B$ 不等式。
   证：采用分块矩阵和矩阵乘可逆矩阵秩不变原理来证明。
   $\left[ \begin{matrix} E_m & -A \\ \mathbf{O} & E_n \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} AB & \mathbf{O} \\ B & BC \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E_p & -C \\ \mathbf{O} & E_q \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \mathbf{O} & E_p \\ -E_q & \mathbf{O} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} ABC & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & B \end{matrix} \right]$
   $rank (\left[ \begin{matrix} AB & \mathbf{O} \\ B & BC \end{matrix} \right]) = rank (\left[ \begin{matrix} ABC & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & B \end{matrix} \right]) =rank ABC + rank B \\ rank (\left[ \begin{matrix} AB & \mathbf{O} \\ B & BC \end{matrix} \right]) \geq rank AB + rank BC$

等号成立充分必要条件是存在矩阵 $X_{nm}$ 与 $Y_{qp}$ 使
$XAB + BCY = B$

该方法技巧性极强，需要构造矩阵乘法，一旦构造好，证明就很简洁。