文章目录
- 一、动态规划
- 1、简介
- 2、应用场景:背包问题
- 二、01背包问题
- 1.1 分析过程
- 1.2 java实现01背包问题求解
一、动态规划
1、简介
- 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
- 动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
- 与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解)
- 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解.
2、应用场景:背包问题
以下是经典的01背包问题【每个物品不能重复】:
- 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大,并且重量不超出
- 要求装入的物品不能重复
二、01背包问题
问题如上
1.1 分析过程
- 我们首先构造一张最大价值表【比如(吉他i,1磅j)表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值】,0磅,1磅。。。代表当前背包容量:
- 从吉他开始往里面填入,当背包为0磅时,吉他不能放入,所以背包此时最大价值(吉他,0磅)=0,同理,当背包容量为1磅时,吉他可以放入,所以最大价值为吉他的价值:1500
- 因为吉他只能放一个,所以接下来的最大价值全部填写1500
- 接下来我们分析音响
音响在背包为0磅时不能放入,所以(音响,0磅)=0,当背包为1磅时,音响重量为4磅,也不能放入,所以直接复制在背包为1磅时装吉他的最大价值: - 当背包为2磅和3磅时,同理。
- 当背包为4磅时,音响可以装入,且没有空余空间。这时就要分析,我们装入音响,背包最大价值有没有上面一个方格【在背包为4磅时装吉他的最大价值】高,如果有,则直接替换,没有,则依然复制:
- 分析电脑,我们运用之前的策略,可以解决3磅之前的问题:
- 最关键的是:然后对于4磅,我们尝试装入电脑,且有空余空间,则将max【剩余空间最大价值】加上:
然后将这个价值3500与上面一个方格的3000对比,发现3500大,所以填3500(GL)
1.2 java实现01背包问题求解
算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品,根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品,设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量, C为背包的容量。再令v[i] [j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:
代码如下:
public class DP {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1, 4, 3};//物品的重量
int[] value = {1500,3000,2000};//物品的价值
int capacity = 4;//背包的容量
int n = value.length;//物品的个数
//为了记录放入商品的情况,我们定义一个二维数组
int[][]path = new int[n+1][capacity+1];
//创建二维数组,表
//v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n+1][capacity+1];
//初始化第一行和第一列【默认是0,可不处理】
//动态规划处理
for(int i = 1; i < v.length; i++) {//不处理第一行
for(int j = 1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列
if(weight[i-1] > j) {//因为我们程序i是从1开始的,因此原来公式中的w[i]修改成w[i-1]
//不可以装入
v[i][j] = v[i-1][j];
}else {
//可以装入
//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], value[i-1] + v[i-1][j-weight[i-1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况,不能直接使用上面公式
if(v[i-1][j] < value[i-1] + v[i-1][j-weight[i-1]]) {
v[i][j] = value[i-1] + v[i-1][j-weight[i-1]];
//把当前情况记录到path
path[i][j] = 1;
}else {
v[i][j] = v[i-1][j];
}
}
}
}
//打印数组
printTable(v);
System.out.println("===================================");
int i = path.length - 1; //行的最大下标
int j = path[0].length - 1;
//列的最大下标
while(i > 0 && j > 0){//从path的最后开始找
if(path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入背包\n", i);
j-=weight[i-1];
}
i--;
}
}
private static void printTable(int[][] v) {
for(int i = 0; i < v.length; i++) {
for(int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
打印结果如下: