2020-05-22
所有背包问题实现的例子都是下面这张图
01背包实现之——穷举法:
1.我的难点:
(1)在用穷举法实现代码的时候,我自己做的时候认为最难的就是怎么将那么多种情况表示出来,一开开始想用for循环进行多次嵌套,但是太麻烦,而且还需要不断的进行各种标记。我现在的水平实在太菜,然后就在一篇博文中看到一个特别巧妙的枚举算法,如下所示:
int fun(int x[n])
{
int i;
for(i=0;i<n;i++)
if(x[i]!=1) {x[i]=1; return;}
//从遇到的第一位开始,若是0,将其变成1,然后结束for循环,得到一种解法
else x[i]=0;
return;
//从第一位开始,若是1,将其变成0,然后继续循环,若再循环的时候遇到0,则将其变为1,结束循环。得到另一种解法。
}
虽然我现在也不知道为什么会这样,但是确实是个很好的规律,找到这个规律后,就可以很轻松的自己写出各种排列情况,以后遇到排列的问题,就用这个方法。语言不好描述,上图片演示(是歪的,凑活看吧。。。):
(2)算法思想:
x[i]的值为0/1,即选或者不选
w[i]的值表示商品i的重量
v[i]的值表示商品的价值
所以这个算法最核心的公式就是
tw=x[1]*w[1]+x[2]*w[2]+.......+x[n]*w[n]
tv=x[1]*w[1]+x[2]*v[2]+......+x[n]*v[n]
tv1:用于存储当前最优解
limit:背包容量
如果 tw<limit&&tv>tv1 则可以找到最优解
2.代码实现
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define n 4
void possible_solution(int x[n]){
int i;
for(i=0;i<4;i++) //n=4,有2^4-1种解法
if(x[i]!=1)
{
x[i]=1;
return; //从遇到的第一位开始,若是0,将其变成1,然后结束循环,得到一种解法
}
else
x[i]=0;
return;//从第一位开始,若是1,将其变成0,然后继续循环,若再循环的时候遇到0,则将其变为1,结束循环。得到另一种解法。
}
int main(){
int count=0;
int w[n]={2,3,4,5},v[n]={3,4,5,6};
int x[n]={0,0,0,0},y[n]={0,0,0,0};
int tw,tv,tv1=0,limit=8;
int j;
for(j=1;j<=15;j++){
possible_solution(x);
count++;
for(int i=0;i<4;i++){
cout<<x[i]<<" ";
}
cout<<endl;
tw=x[0]*w[0]+x[1]*w[1]+x[2]*w[2]+x[3]*w[3];
tv=x[0]*v[0]+x[1]*v[1]+x[2]*v[2]+x[3]*v[3];
if(tw<=limit&&tv>tv1){
tv1=tv; y[0]=x[0];y[1]=x[1];y[2]=x[2],y[3]=x[3];
}
}
cout<<"共有"<<count<<"种解法."<<endl;
printf("其中0-1背包问题的最优解为: y=(%d,%d,%d,%d)\n",y[0],y[1],y[2],y[3]);
printf("总价值为:%d",tv1);
}
3.运行结果:
4.复杂度分析
n个物品的话,就有2^n-1种解,所以其时间复杂度为O(2^n)
01背包问题之——贪心算法:
1.算法思路:
取单位价值量最大的那个物品先装入背包。所以还算好实现,得到每一个物品的价值量之后,查找最大的价值量的坐标,判断这个坐标额物品体积是否小于背包的容量,若小于,则装入背包。否则,继续循环。
2.代码实现 法一:
将得到的每个物品的价值量进行排序,得到一个递减序列。
#include<iostream>
#include <iomanip>
#define n 4 //物品数列
#define c 8 //背包容量
using namespace std;
int w[4]={2.0,3.0,4.0,5.0};
float v[4]={3.0,4.0,5.0,6.0};
float sortBest[4]; //v[i]/w[i]
int C(){
for(int i=0;i<4;i++){
sortBest[i]=v[i]/w[i];
//cout<<sortBest[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int Sort(){
for(int i=0;i<4;i++)
{
int temp;
int wtemp;
int vtemp;
if(sortBest[i+1]>sortBest[i])
{
temp=sortBest[i];
sortBest[i]=sortBest[i+1];
sortBest[i+1]=temp;
wtemp=w[i];
w[i]=w[i+1];
w[i+1]=wtemp;
vtemp=v[i];
v[i]=v[i+1];
v[i+1]=vtemp;
}
//用来查看排序是否正确
cout<<"w["<<i<<"]="<<w[i]<<" ";
cout<<endl;
cout<<"v["<<i<<"]="<<v[i]<<" ";
cout<<endl;
cout<<"sortBest["<<i<<"]="<<sortBest[i]<<endl;
}
cout<<endl;
}
int F(){
int c1=c;
int result=0;
for(int i=0;i<4;i++){
if(w[i]<=c1)
result=result+v[i];
c1=c1-w[i];
}
cout<<"最优值是:"<<result;
}
int main()
{
C();
cout<<"背包重量是:"<<c<<endl;
Sort();
F();
return 0;
}
代码实现 法二:
没有对每个商品的价值量进行排序,直接查找当前价值量的最大值,判断其是否能够装入背包,若能,直接装入,令当前价值量为0,继续寻找第二大价值量,不断循环即可。代码如下:
#include<iostream>
#include <iomanip>
#define n 4 //物品数列
#define c 8 //背包容量
using namespace std;
float w[4]={2.0,3.0,4.0,5.0};
float v[4]={3.0,4.0,5.0,6.0};
float sortBest[4]; //价值量 v[i]/w[i]
int C(){
for(int i=0;i<4;i++){
sortBest[i]=v[i]/w[i];
//cout<<sortBest[i]<<" ";
}
}
int F()
{
float temp=0;
float result=0;
float c1=8; //用于改变c的值
for(int i=0;i<4;i++)
{
//for循环用来得到最大sortBest
for(i=0;i<4;i++)
{
if(temp<sortBest[i])
temp=sortBest[i];
}
//cout<<"max(sortBest)="<<temp<<endl;
for(i=0;i<4;i++)
{
if (temp==sortBest[i])
//cout<<"最大sortBest的下标是:"<<i<<endl;
sortBest[i]=0;
if (w[i]<=c1)
result=result+v[i];
c1=c1-w[i];
}
}
cout<<"结果为:"<<result<<endl;
}
int main()
{
cout<<"********贪心算法解决01背包问题,谁的sortBest=v[i]/w[i] 大,就先拿谁***********"<<endl;
cout<<"背包的总重量是:"<<c<<endl;
cout<<"可挑选的物品共4件"<<endl;
cout<<endl;
for(int i=0;i<4;i++)
{
cout<<"w["<<i<<"]="<<w[i]<<" ";
cout<<"v["<<i<<"]="<<v[i]<<" ";
cout<<"sortBest["<<i<<"]="<<v[i]/w[i]<<" ";
cout<<endl;
}
C();
F();
return 0;
}
3.遇到的困难
就是,当得到的价值量的包含小数时,而且刚好就靠小数部分区分大小时(比如1.5 ,1.33,)。c++正常输出的结果都是整数。
解决办法就是,将每个物品的价值量(3.0,4.0)和背包重量(2.0,3.0)都变float类型,注意定义的时候,也需要定义为float类型
4.复杂度:
时间复杂度:O(n)
01背包问题之——动态规划
1.算法思想
最重要的就是寻找递推关系式:
定义V[i,j]:当背包容量为j时,前i个物品最佳组合对应的值。
递推关系:
(1)当背包的容量不允许装入第i件物品时,和前一个物品装入背包一样。即 :V[i][j]=V[i-1][j]
(2)当背包的容积可以装入第i件物品时,分两种情况,A装入第i件物品不是最优,还不如不装。B装入第i件物品是最优。即:V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i][j-w[i]]+v[i])
2.代码实现:
#include<iostream>
using namespace std;
int w[5]={0,2,3,4,5};
int v[5]={0,3,4,5,6};
int V[5][9];
int c=8;
int B()
{
int i,j;
for(i=0;i<5;i++)
{
V[i][0]=0;
for(j=0;j<c+1;j++)
{
V[0][j]=0;
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
int main(){
B();
//显示填好的表格
for (int i=0;i<5;i++)
{
for(int j=0;j<9;j++)
{
cout<<V[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"最优结果是:"<<V[4][8];
return 0;
}
下面是带上回溯找出解的组成的代码:
#include<iostream>
using namespace std;
int w[5]={0,2,3,4,5};
int v[5]={0,3,4,5,6};
int V[5][9];
int c=8;
int item[4];
int B()
{
int i,j;
for(i=0;i<5;i++)
{
V[i][0]=0;
for(j=0;j<c+1;j++)
{
V[0][j]=0;
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
void FindWhat(int i,int j)//寻找解的组成方式
{
if(i>=0)
{
if(V[i][j]==V[i-1][j])//相等说明没装
{
item[i]=0;//全局变量,标记未被选中
FindWhat(i-1,j);
}
else if( j-w[i]>=0 && V[i][j]==V[i-1][j-w[i]]+v[i] )
{
item[i]=1;//标记已被选中
FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到装包之前的位置
}
}
}
int main(){
B();
//显示填好的表格
cout<<"得到的表格如下图所示:"<<endl;
for (int i=0;i<5;i++)
{
for(int j=0;j<9;j++)
{
cout<<V[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"最优结果是:"<<V[4][8]<<endl;
FindWhat(4,8);
cout<<endl;
cout<<"回溯得到的解是:"<<endl;
for(int i=1;i<5;i++){
if(item[i]==1)
cout<<"背包里面有第"<<i<<"号物品"<<endl;
//cout<<item[i]<<" ";
}
return 0;
}
3.复杂度
时间复杂度:
O(物体个数*背包容积)=O(number*capacity)
空间复杂度:
用二维表实现的,所以和时间复杂度一样。
O(物体个数*背包容积)=O(number*capacity)
01背包之——递归
1.
递归法思路很单一,也是在递归方程的基础上,将其改造为可以递归的方式
2.代码演示
#include<iostream>
using namespace std;
int n=4;
int w[4]={2,3,4,5};
int v[4]={3,4,5,6};
int y[4]={0,0,0,0};
int c=8;
int f(int n,int c)
{
int temp1;
int temp2;
if(n==0||c==0) {
return 0;}
else
{
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
if(w[i]>c)
{
return f(n-1,c);
}
else
{
temp1=f(n-1,c);
temp2=f(n-1,c-w[i])+v[i];
if(temp1>temp2)
{
return temp1;
}
else if(temp1<temp2)
{
return temp2;
}
}
}
}
}
int main()
{
cout<<"最优值为:"<<f(4,8)<<endl;
return 0;
}
3.我的难点:
因为是递归,所以其最大的缺点就是重复计算,所以如果我想查找他的解是什么,不容易查找。因为如果你进行标记的话,因为会重复计算,所以标记的话,标记也是不停的会变。所以我也不知道怎么解决。
4.复杂度:
O(2^n)
01背包之——回溯
学习使我快落