用平面直角坐标与无人机大地坐标系相互转换 python

球坐标系

球坐标系是三维坐标系中的一种，在无人机中一般使用球坐标系来表示相机姿态，相机姿态的坐标是相对于无人机的，而无人机的飞行姿态则是相对于大地坐标系的。这里我们使用的相机是2自由度的相机，即可以水平 $\phi$ 和垂直 $\theta$ 两个方向转动，其中 $\phi \in [0,2\pi]$ 或 $[-\pi,\pi]$，$\theta \in [0,\pi]$，这里 $\rho$ 为球半径（默认我们使用右手坐标系）

球坐标与笛卡尔坐标的转换

在后面的计算中因为球坐标不方便作旋转变换，我们需要用到球坐标与笛卡尔坐标的坐标转换

球坐标到笛卡尔坐标

$x =\rho*sin(\theta)*cos(\phi)$

$y=\rho*sin(\theta)*sin(\phi)$

$z=\rho*cos(\theta)$

笛卡尔坐标到球坐标

$\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\theta = arccos(z \div \rho)$

$\phi=arctan(y,x)$

相机相对大地坐标系的姿态

为了计算方便，我们一般旋转坐标系将$z$轴向下，这个时候无人机机头方向即是 $x$ 轴方向，$\phi$即是相对于无人机机头的相机水平旋转角度，$\theta$在垂直于无人机方向上为0度；这时的无人机载体的坐标系就是我们常用的北东地坐标系（NED，即$x$轴指向北，$y$轴指向东，$z$轴指向地面）。

在无人机飞行中，无人机平台由于飞行运动及气流运动等因素，会影响无人机的飞行姿态，这时搭载的相机姿态相对大地坐标系会发生变化，需要加入无人机姿态去计算修正，以便于更准确计算相机的观测位置

无人机姿态一般包括3个角度即：偏航角(Yaw)、俯仰角(Pitch)、翻滚角(Roll)。偏行角一般指无人机相对北极的顺时针角度，也即整个坐标系沿 $z$ 轴顺时针旋转的角度，俯仰角即飞机的攻角或者飞机机头的俯仰角，在上面的坐标系中是沿 $y$ 轴旋转的角度。翻滚角则是飞机左右倾斜的角度，在上面的坐标系中是沿 $x$ 轴旋转的角度。

以上需要注意的是：偏航角与其他角不同，这里偏航角的旋转的角度是：$Yaw-90$，如上图，是3维坐标系的俯视图，蓝色坐标系即是无人机载体坐标系NED，黑色坐标系即是大地坐标系。所以这里无人机载体的坐标系是相对于大地坐标系顺时针旋转了$Yaw-90$度。另一个需要注意的是：最后得到的相机水平 $\phi$ 角度需要取反，即 $-\phi$;因为NED坐标系和大地坐标系中$y$轴是对称的，如：上图可将蓝色$x$轴转到$X$轴上，这时俩坐标系$y$轴是对称的，所以角度是相反的。

三维空间的旋转矩阵

沿 $x$

$R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1&0 & 0 \\ 0&cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\ 0&sin(\alpha)&cos(\alpha) \end{bmatrix}$

沿 $y$

$R_y(\beta)=\begin{bmatrix} cos(\beta)&0&sin(\beta) \\ 0&1 & 0 \\ -sin(\beta)&0&cos(\beta) \end{bmatrix}$

沿 $z$

$R_z(\gamma)=\begin{bmatrix} cos(\gamma)&-sin(\gamma) &0 \\ sin(\gamma)&cos(\gamma) &0 \\ 0&0 & 1 \end{bmatrix}$

合并旋转后的三维旋转矩阵

$R_{3d} = R_z(\gamma)R_y(\beta)R_x(\alpha)$

这里需要注意的是：1.旋转矩阵相乘的顺序，矩阵乘法不满足交换律，所以不同顺序一般最后得到的相机旋转角度不同（比较常用的顺序为 $XYZ$ 和 $ZYX$，这个依赖于惯性测量单元(IMU)的姿态解算约定的旋转顺序 ）。 2. 旋转方向，这里默认写的都是正向旋转。下面贴一下逆向的旋转矩阵作为参考：

沿 $x$

$R_x^c(\alpha)=\begin{bmatrix} 1&0 & 0 \\ 0&cos(\alpha)&sin(\alpha) \\ 0&-sin(\alpha)&cos(\alpha) \end{bmatrix}$

沿 $y$

$R_y^c(\beta)=\begin{bmatrix} cos(\beta)&0&-sin(\beta) \\ 0&1 & 0 \\ sin(\beta)&0&cos(\beta) \end{bmatrix}$

沿 $z$

$R_z^c(\gamma)=\begin{bmatrix} cos(\gamma)&sin(\gamma) &0 \\ -sin(\gamma)&cos(\gamma) &0 \\ 0&0 & 1 \end{bmatrix}$

很显然 $R_x^c(\alpha) = R_x(-\alpha)$，同理沿其他轴也是一样的，所以两种矩阵是形式等价的，只用一种就行了，注意旋转方向的正负。

代码实现

from math import *
import numpy as np

def rad(x):
    return radians(x)

def deg(x):
    return degrees(x)

def coord_sphere2cart(theta,phi, rho = 1):
    x = rho*sin(rad(theta))*cos(rad(phi))
    y = rho*sin(rad(theta))*sin(rad(phi))
    z = rho*cos(rad(theta))
    return x,y,z

def coord_cart2sphere(x,y,z):
    rho = sqrt(x**2+y**2+z**2)
    theta = acos(z/rho)
    phi = atan2(y,x)
    return rho,deg(theta),deg(phi)

def uav_rot(x,y,z,RX,RY,RZ):
    R = rad(RX) #Roll-X
    P = rad(RY) #Pitch-Y
    Y = rad(RZ) #Yaw-Z
    
    Rx = [[1,0,0],
          [0,cos(R),-sin(R)],
          [0,sin(R),cos(R)]]
    Ry = [[cos(P),0,sin(P)],
          [0,1,0],
          [-sin(P),0,cos(P)]]
    Rz = [[cos(Y),-sin(Y),0],
          [sin(Y),cos(Y),0],
          [0,0,1]]
    Rx = np.array(Rx)
    Ry = np.array(Ry)
    Rz = np.array(Rz)
    R3d = Rz @ Ry @ Rx
    xyz = np.array([x,y,z])
    return R3d @ xyz

def camera_rectify(pan,tilt,yaw,pitch,roll):
    x,y,z = coord_sphere2cart(theta=tilt,phi=pan,rho=1)
    x_,y_,z_ = uav_rot(x,y,z,RX=roll,RY=pitch,RZ=yaw)
    rho,theta,phi = coord_cart2sphere(x_,y_,z_)
    pan = phi
    tilt = theta
    return pan,tilt
    
def rot_mat_to_symbol():
    from sympy import Symbol,Matrix,sin,cos
    R = Symbol("R") #Roll-X
    P = Symbol("P")  #Pitch-Y
    Y = Symbol("Y") #Yaw-Z
    
    x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")
    z = Symbol("z")
    xyz = Matrix([[x],[y],[z]])

    Rx = Matrix([[1,0,0],
                 [0,cos(R),-sin(R)],
                 [0,sin(R),cos(R)]
                ])

    Ry = Matrix([[cos(P),0,sin(P)],
                 [0,1,0],
                 [-sin(P),0,cos(P)],
                ])

    Rz = Matrix([[cos(Y),-sin(Y),0],
                 [sin(Y),cos(Y),0],
                 [0,0,1]
                ])

    res = Rz*Ry*Rx*xyz
    for a,m in zip(xyz,res):
        print(a,"=",m)

参考：

1. Geometric transformations in 3D and coordinate frames