R语言计算正态分布值 r语言 正态分布

目录

• 0引言
• 1、偏态分布的定义

• 1.1正态分布
• 1.2偏态分布

• 2、偏态分布的数字特征

• 2.1均值
• 2.2方差

• 3、不同偏态的偏态分布——R语言

• 3.1 代码
• 3.2不同lambda的偏态分布图

• 参考文献

0引言

偏态分布是A. Azzalini¹在1985年提出的，本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义，主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导，以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。

1、偏态分布的定义

1.1正态分布

正态分布²，又名高斯分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
随机变量$X$服从$N(\mu, \sigma^2)$正态分布，我们分别记$\phi(*)$和$\Phi(*)$为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。
定义为：
$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
$\Phi(x) = \int_{-\infin}^{x}{\phi(t)dt}$
随机变量$X$的概率密度函数和累计分布分别为为：
$f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
$F_{X}(x) = \int_{-\infin}^{x}{f(t)dt}$

1.2偏态分布

A. Azzalini¹在1985年首次提出标准偏态分布$SN(0,1,\lambda)$,引入了偏度参数$\lambda$,其概率密度函数是：
$f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x),$
$Y$服从$SN(\mu, \sigma,\lambda)$的偏态分布，类似的概率密度函数有如下定义：
$f_Y(y) = \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma}).$
可以看出当$\lambda$为0时，该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量$Y$的均值和方差。

2、偏态分布的数字特征

2.1均值

在1.2节我们定义了一般的偏正态分布，这节我们推导偏正态分布的均值。
$\begin{aligned} E(Y) &\left.= \int_{-\infin}^{+\infin}yf(y)dy \right. \\ &\left. = \int_{-\infin}^{+\infin}y \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma})dy (标准化换元（t=\frac{y-\mu}{\sigma}）) \right. \\ &\left.=\int_{-\infin}^{+\infin}2(\sigma t + \mu)\phi(t)\Phi(\lambda t)dt \right.\\ &\left.=\mu +\sigma\int_{-\infin}^{+\infin}2t\phi(t)\Phi(\lambda t)dt \right.\\ &\left.=\mu +\sigma\int_{-\infin}^{+\infin}2t\phi(t)dt\int_{-\infin}^{\lambda t}{\phi(k)} dk (变换积分限) \right. \\ &\left.=\mu +\sigma\int_{-\infin}^{+\infin}\phi(k)dk\int_{\frac{k}{\lambda }}^{+\infin}2t{\phi(t)} dt \right. \\ &\left.=\mu +\sigma\int_{-\infin}^{+\infin}\phi(k)dk\int_{\frac{k}{\lambda }}^{+\infin}\frac{2}{\sqrt{2\pi}} d-e^{-\frac{t^2}{2}} \right. \\ &\left.=\mu +\sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\sigma\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{k^2}{2\lambda^2}}\phi(k)dk \right. \\ &\left.=\mu +\sqrt{\frac{2}{{\pi}}} \frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}} \sigma \right. \\ \end{aligned}$
令：$\mu_0(\lambda) = \sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}$
有：$E(Y) = \mu+\mu_0(\lambda)\sigma$

2.2方差

按着正常步骤求方差先求二阶距离：
$\begin{aligned} E(Y^2) &\left.= \int_{-\infin}^{+\infin}y^2f(y)dy \right. \\ &\left. = \int_{-\infin}^{+\infin}y^2 \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma})dy (标准化换元（t=\frac{y-\mu}{\sigma}）) \right. \\ &\left.=\int_{-\infin}^{+\infin}2(\sigma t + \mu)^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dt \right.\\ &\left.=\int_{-\infin}^{+\infin}2(\mu^2+\sigma^2 t^2+2\mu\sigma t)\phi(t)\Phi(\lambda t)dt \right.\\ &\left.=\mu^2 + 2\mu \sigma \mu_0+\sigma^2\int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dt \right.\\ &\left.=\mu^2 + 2\mu \sigma \mu_0+\sigma^2 \right.\\ \end{aligned}$

方差为：
$\begin{aligned} D(Y) &\left.=E(Y^2)-{E(Y)}^2 \right. \\ &\left.=\mu^2 + 2\mu \sigma \mu_0+\sigma^2 - {(\mu+\mu_0\sigma)}^2 \right. \\ &\left.=(1-\mu_0^2)\sigma^2 \right. \\ \end{aligned}$

令：$\sigma_0^2(\lambda) = 1 - \mu_0^2=1 - {\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda^2}{{1+\lambda^2}}$
有：$D(Y) = \sigma_0^2(\lambda)\sigma^2$
注：

• 在推导中会把$\mu_0(\lambda)$记为$\mu_0.$
• 在推导中用到$K = \int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dt$

$\begin{aligned} K &\left.=\int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t) dt （改变积分限+分部积分) \right. \\ \\ &\left.=\int_{-\infin}^{+\infin}2\phi(t)\Phi(\lambda t)dt（概率密度函数具有规范性） \right. \\ \\ &\left.=1 \right. \\ \end{aligned}$

3、不同偏态的偏态分布——R语言

本文代码主要用了闭包以及ggplot2包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。

3.1 代码

library(ggplot2)
nnorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){
  function(x){
    x <- (x - mu)/sigma
    f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda)
    return(f)
  }
}
plot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))
plot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T)
plot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T)
plot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
plot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T)
plot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T)
plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T)

x <- seq(-5,5, 0.01)
n = length(x)
Lambda <- c(-3:3)
Data <- data.frame(
  x = rep(x, 7),
  y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x),
  nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)),
  z = rep(Lambda, each = n),
  z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n))
)
qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line")
qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line")

3.2不同lambda的偏态分布图

参考文献

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1. A. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎
2. https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎