幂函数Python 幂函数定义

目录

• 一.什么是幂函数
• 二.幂函数的函数图像及性质
• 三.常见题型
• 四.常见的函数模型
• 五.n次方根
• 六.分数指数幂
• 七.无理数指数幂

一.什么是幂函数

幂函数 y=x^a (a为常数, x为自变量)

例题1: 判断下列是否为幂函数
(1) y=x⁴

(2) y=2x²

(3) y=2x

(4) y=x³+2

(5) y=-x²

只有第一个是对的, 严格意义上来讲,自变量前面不能有前缀和后缀
$\quad$
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二.幂函数的函数图像及性质

性质:

(1): 图像都过(1,1)点

(2): y=x^a
(a>1或 a<0) 当a为奇数时,y为奇函数, 当a为偶数时, y为偶函数
(0<a<1) 非奇非偶

(3): y=0 为即奇又偶函数

(4): y=x^-1 中x不能为0, 因为分母不能为0

(5): y=x^a 在第一象限内, 当a>0时是增函数, 当a<0时是减函数

(6): 在第一象限内, y=x^-1的图像与x,y轴无限接近
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三.常见题型

例题2: 设a$\in$ {-1, 1, $\frac{1}{2}$, 3},则使函数y=x^a的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是____
答案: 1, 3

解析:
y=x^-1 中x不能为0
y= $\sqrt{x}$

例题3: 比较下列各组数的大小

例题4:

方法一: 在x=1的右边画一条竖线,在上面的大

方法二: a>1, 0<b<1, c<0

$\quad$

$\quad$

四.常见的函数模型

(1) 一次函数模型: f(x)=kx+b (k,b为常数, k≠0)

(2) 反比例函数模型: f(x)=$\frac{k}{x}$

(3) 二次函数模型: f(x)=ax²$\pm$bx +c (a,b,c为常数, a≠0)

(4)幂函数模型: f(x)=axⁿ+b (a,b,n为常数, a≠0, n≠1)
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五.n次方根

(1):如果xⁿ=a, 那么x叫做a的n次方根, (其中n>1, n为正整数)
n次方根的个数
1.当n是奇数时
2.当n是偶数时, 分为x>0和x<0两种情况

(2):式子 $\sqrt[n]{a}$

性质(n>1且为自然数):
($\sqrt[n]{a}$)ⁿ = a

$\sqrt[n]{a^n}$

例题5:
$\sqrt{a^2}$

($\sqrt{a}$)² = a

例题6: m是实数, 则下列式子中可能没有意义的是( C )
A. $\sqrt[4]{m^2}$

B. $\sqrt[5]{m}$

C. $\sqrt[6]{m}$

D. $\sqrt[5]{-m}$

解析: 根指数为奇时, 被开方数才能为负

(3) :
$\sqrt{a}$ 为算术平方根
$\pm$$\sqrt{a}$

例题7: 化简
(1) $\sqrt[n]{(x-π)^n}$ 其中(x<π, n $\in$ N^*)
当n为奇数时, x-π
当n为偶数时, π-x

(2) $\sqrt[6]{4a^2-4a+1}$ 其中(a $\leq$ $\frac{1}{2}$)

$\sqrt[6]{(2a-1)^2}$

$\sqrt[3]{|2a-1|}$

$\sqrt[3]{1-2a}$

$\quad$

六.分数指数幂

$a^{n \over m}$ = $\sqrt[m]{a^n}$ $\quad$ (m,n $\in$

例如: $a^{1 \over 2}$ = $\sqrt{a}$ $\quad$ $a^{2 \over 3}$ = $\sqrt[3]{a^2}$

例题8: 把根式a$\sqrt{a}$ 化成分数指数幂是
=> a * $a^{1 \over 2}$
=> $a^{3 \over 2}$

例题9:
$\sqrt{a\sqrt{a}}$ => $\sqrt{a*a^{1 \over 2}}$ => $\sqrt{a^{3 \over 2}}$ => $a^{3 \over 2}$* $a^{1 \over 2}$ => $a^{3 \over 4}$

$\quad$

七.无理数指数幂

一般地, 无理数指数幂x^a (a>0, a是无理数) 是一个确定的实数, 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂

例题10: