基于3x3模板的均值滤波 均值滤波的3x3滤波器

空间滤波器

分为线性滤波器和非线性滤波器

• 线性滤波器，$f$
• 非线性滤波器，$f$ 是非线性函数
  

线性滤波器

• $w(s,t)$
• 分为平滑滤波器和锐化滤波器
• 图像的线性滤波是对图像的线性变换，可以表示成对图像的矩阵变换的形式（对整个图像写一个滤波的矩阵，其中有些值为0）

平滑滤波器（低通滤波器）

• 主要是加权平均
• 举例：均值滤波，高斯滤波

边界处理

• 为什么要进行边界处理

• 原因一：



• 原因二：如果不进行边界处理，不同像素点作为滤波核中心的次数不一样，有些点不会作为滤波核的中心出现

• 对边界外某个范围内的区域进行填充（常用方法）

• 常数填充
• 镜像填充

• 在边界附近调整滤波核的大小

快速均值滤波

首先这里需要了解一下积分图，积分图实际上就是对图像进行二维前缀和操作

• 通过积分图进行快速均值滤波（右下角 + 左上角 - 另外两个角）

高斯滤波

• 高斯滤波具有行列可分离性。也就是说，我们在对二维图像进行高斯滤波时，为了减少运算时间，可以先按行滤波，再将得到的结果按列滤波，或者反过来。总之就是将二维滤波转化成两个一维滤波

• 一般情况下，$\sigma$ 越大，高斯滤波核的尺寸就越大，$size = 6\sigma - 1$

锐化滤波器（高通滤波器）

基本高通滤波器：

• 滤波器中心有正系数，边缘上有负的系数，且总和为0
• 在平坦变化的区域很暗，在剧烈变化的区域很亮
• 可以用来进行边缘检测。滤波以后，只有边缘的区域是亮的
  

导数滤波器

• 图像平均和图像差分（离散点的导数就是用差分计算的）的区别



• 一阶导和二阶导的区别（以下图为例，一阶导和二阶导都按照上述公式计算）

• 左边的图中间有一个噪声白点，还有一条白线，右边的图是其沿着中间从左到右像素变化曲线

• 对于一阶导来说

• 零：在常数值的区域
• 非零：在斜坡的开始和斜坡上（斜坡结束点不是，比如上面第一个斜坡的结束位置，导数为 0）

• 对于二阶导来说

• 零：在常数值的区域和斜坡上
• 非零：在斜坡的两端

• 总的来说

• 一阶导产生的边缘可以有较大的宽度，因为斜坡可以是持续的，这对边缘位置的确定是不利的，因为在寻找边缘的时候，我们希望确定准确的边缘位置
• 二阶导在边缘处过零点，这是确定边缘的简单判别方式
• 二阶导对噪声敏感，因此一般的图像处理中的二阶导施行之前，需要对图像进行高斯滤波，先行去除噪声

一阶导的运用 - > 梯度

• 图像处理中最为常见的差分方法就是梯度



• 三种典型的梯度算子：$Roberts , Prewitt,Sobel$

• $Roberts$算子



• $Prewitt$算子（下面减去上面，右边减去左边）



• $Sobel$算子（下面减去上面，右边减去左边，中间位置的数乘以 2）

• 受噪声的影响

• 这里看到，噪声点和边缘点的梯度实际上是差不多大的，因此我们很难分辨出边缘



• 通常，会先对图像进行滤波
  这种情况下，进行高斯滤波，就是先对图像进行加权平均，噪声点滤波后的值会接近一个常数，而边缘处的值还在变化
  然后我们再利用梯度，就可以分辨出边缘

二阶导的运用 - > 拉普拉斯

• 拉普拉斯滤波核课以是中间为正数，周围是负数，也可以中间是负数，周围是正数。
• 可以通过将拉普拉斯检测出来的图像加上原图像来锐化原图像



• 
  



• LOG（Laplacian of Gaussian）

• 在一阶导中，我们处理过噪音对图像的影响，就是先滤波。这里我们发现，先进行高斯滤波，再对看滤波的结果求一阶导数，和先对高斯函数求一阶导数，再滤波得到的结果一样
• 在二阶导中，也有这个特性。高斯函数的二阶导就是 LOG
• 我们可以通过图形进行直观感受

高频补偿滤波器

• 非锐化掩蔽
  顾名思义，就是把不是锐化（细节）的地方遮住，也就是说我们这个 mask 是用来描述图像细节的



• 高频补偿滤波器

• 这里的 $f_s(x,y)$
• 实际情况中，我们用矩阵表达

• 可见，当$A = 1$的时候，就是一个基本的高通滤波器
• $A > 1$

非线性滤波器

次序统计滤波器（Order Statistic Filter）

• 中值滤波：取邻域中灰度的中值作为该点的灰度值

• 尺寸越大，图像越模糊
• 可以用于消除椒盐噪声

• 最大值滤波
• 最小值滤波
• 快速 最大/最小值滤波

• 每次选取一个区域 $M$ ，将 $M$ 的中间位置当做 $c$
• 对位置 $i$ 来说，如果 $i$ 在 c 左边 ，则位置 $i$ 的值为从 $i$ 到 $c$ 的最大值。如果 $i$ 在 $c$ 的右边，则位置 $i$ 的值为从 $c$ 到 $i$
• 产生 $T$ 后，从 $c$
• 因此取最大值的时候，直接取两端中的一个



• 只能计算出紫色部分位置的最大值

• 如果向右太多。红色部分的左右两端的最大值可能是绿色部分的值，但是这个值并不在红色框内
• 如果向左太多，红色部分的左右两端的最大值可能是绿色部分的值，但是这个值并不在红色框内

双边滤波器（Bilateral Filter）：

• 高斯滤波的问题：在消除噪音的同时也会对图像中的边缘信息进行平滑，使图像变得模糊

• 高斯滤波之所以会导致图像变得模糊，是因为它在滤波过程中只关注了位置信息。即在滤波窗口内，距离中心点越近的点的权重越大
• 这种只关注距离的思想在某些情况下是可行的，例如在平坦的区域，距离越近的区域其像素分布也越相近，自然地，这些点的像素值对滤波中心点的像素值更有参考价值。但是在像素值出现跃变的边缘区域，这种方法会适得其反，损失掉有用的边缘信息

• 双边滤波：计算权重的同时考虑空间位置和像素颜色之差

• 双边滤波的思想很简单，在高斯滤波的基础上加入了像素值权重项，也就是说既要考虑距离因素，也要考虑像素值差异的影响，像素值越相近，权重越大
  
  
  对前半段公式来说，$\sigma$

对后半段公式来说，$\sigma$

所以，两个 $\sigma$