一. DJKSTRA算法概述

我们可以将地图抽象为Graph的数据结构，然后利用Graph的广度优先遍历算法(Breadth-First Search, BFS)解决无权重的High-Level的地图级别的规划。但是实际应用场景中，地图中各个路径所代表的Graph的边的权重都是不同的，比如距离长的Edge权重就应该比较低；交通拥堵的Edge权重就应该低等等。对于有权重的Graph如何进行最短路径规划呢，Dijkstra算法可以解决这个问题。

Dijkstra算法是一种有权图(Graph)的单源最短路径求解算法，给定一个起点，使用Dijkstra算法可以得到起点到其它所有节点的最短路径。Dijkstra算法要求图(Graph)中所有边的权重都为非负值，只有保证了这个条件才能该算法的适用性和正确性。

算法思想：偷个懒，摘自百度百科

按路径长度递增次序产生算法：

把顶点集合V分成两组：[3]

(1)S：已求出的顶点的集合(初始时只含有源点V0)[1]

(2)V-S=T：尚未确定的顶点集合[1]

将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：[1]

(1)从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度[1]

(2)每个顶点对应一个距离值[2]

S中顶点：从V0到此顶点的长度[1]

T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度[1]

依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和[1]  。

(反证法可证)

求最短路径步骤[1]

算法步骤如下：[1]

G={V,E}

1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值[1]

若存在，d(V0,Vi)为弧上的权值[1]

若不存在，d(V0,Vi)为∞[2]

2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中[1]

3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值[1]

重复上述步骤2、3，直到S[1]  中包含所有顶点，即W=Vi为止[1]

二. 示例问题

给出如下带权重的图，求从A到G的最短路径


第一步：

构建一个记录最短路径和距离并用来计算权重的表格。初始化这个表格，除了起点A，已知距离为0，其它距离初始化为无穷大。

A

B

C

D

E

F

G

0

∞

∞

∞

∞

∞

∞

第二步:

以A为起点，可以得到从A出发的几条边，更新最短距离，并标记A为已计算过最小路径

找到:

A - B;　　权重8

A - D;　　权重10

A - E;　　权重12


第三步：

遍历上一步找出的几条路径，选择最短路径，并计算其临边的所有路径，更新表格，并标记B为已找过的顶点

找到：

A - B - C　　14

A - B - F 　　20


第四步：不断重复第三步，直到所有顶点都找完为止


第五步：得到结果 A - B - F  - G

三. Python代码实现

1 #!/usr/bin/python3
2 #-*- coding: utf-8 -*-
3 #@author： Asp1rant
4
5
6 defdjkstra(graph, start, end):7 path_set = set() #已求的路径集合
8 priority_dic ={}9 for k ingraph.keys():10 priority_dic[k] = [9999, False, ""] #权重表构建为一个3维数组，分别是：最小路径代价，是否计算过最小边，最小路径
11 priority_dic[start][0] =012
13 #判断权重表中所有路点是否添加完毕
14 defisSelectAll():15 ret =True16 for val inpriority_dic.values():17 if not val[1]:18 ret =False19 break
20 returnret21
22 while notisSelectAll():23 find_point =start24 find_path =start25 min_distance = 9999
26 for path inpath_set:27 end_point = path[-1]28 path_distance =priority_dic[end_point][0]29 if path_distance < min_distance and not priority_dic[end_point][1]:30 find_point =end_point31 find_path =path32 min_distance =path_distance33 find_distance =priority_dic[find_point][0]34 neighbors =graph[find_point]35 for k inneighbors.keys():36 p = find_path + "-" +k37 weight = find_distance +neighbors[k]38 path_set.add(p)39 if weight 
44 returnpriority_dic[end]45
46
47 if __name__ == '__main__':48 #用于测试的图
49 graph ={50 "A": {"B": 8, "D": 10, "E": 12},51 "B": {"C": 6, "F": 12},52 "C": {"F": 8},53 "D": {"E": 10, "G": 30},54 "E": {"F": 10},55 "F": {"G": 12},56 "G": {}57 }58 result = djkstra(graph, "A", "G")59 print(result)

输出结果：

[32, True, 'A-B-F-G']