扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法求的是方程

的解。原理如下

 

设

，当

时，

，此时

，否则设

 

     

 

由于

，所以进一步得到

 

     

 

所以得到

                   

 

代码：

void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    LL tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}

题目： http://poj.org/problem?id=2142

 

题意：有两种类型的砝码质量分别为

和

，要求称出质量为

的物品，要求

的数量

和

的数量

的和

     最小，如果有多个

最小值，取

最小的。

分析：扩展欧几里得求出特解后，把

转化为最小正值，即

，

，若     求出的

为负值，则把

变正，意思就是砝码放置的位置有左右之分，可以左面的减去右面的，也可以右面     的减去左面的。同理，再求出

为最小合法正值时

的解，将这两种情况比较取小的即可。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}

int main()
{
    int a, b, n;
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!=EOF)
    {
        if(a + b + n == 0) break;
        int d = gcd(a, b);
        a /= d;
        b /= d;
        n /= d;
        int x, y;
        extend_Euclid(a, b, x, y);
        int tx = x * n;
        tx = (tx % b + b) % b;
        int ty = (n - a * tx) / b;
        if(ty < 0) ty = -ty;
        y *= n;
        y = (y % a + a) % a;
        x = (n - b * y) / a;
        if(x < 0) x = -x;
        if(x + y > tx + ty)
        {
            x = tx;
            y = ty;
        }
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

 

题目：http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=2815

 

题意：给定两个数

和

，其中

，只对

和

进行加减操作，求最少需要多少步能得到1。

分析：典型的扩展欧几里得算法，注意有些需要特判。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b ? gcd(b,a%b):a;
}

void extend_Euclid(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b,a%b,x,y);
    LL tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        LL a,b;
        cin>>a>>b;
        if(a < b) swap(a,b);
        LL g = gcd(a,b);
        if(g != 1)
        {
            puts("-1");
            continue;
        }
        if(b == 1 && a == 2)
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        if(b == 1)
        {
            puts("2");
            continue;
        }
        if(b == 0 && a == 1)
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        LL x,y;
        extend_Euclid(a,b,x,y);
        LL ans = abs(x) + abs(y);
        if(x < 0)
        {
            LL tmp = abs(x + b) + abs(y-a);
            if(tmp < ans) ans = tmp;
        }
        else
        {
            LL tmp = abs(x - b) + abs(y + a);
            if(tmp < ans) ans = tmp;
        }
        cout<<ans - 1<<endl;
    }
    return 0;
}