矩阵求导解最小二乘问题

关于最小二乘问题的求解，之前已有梯度下降法，还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法，是基于

矩阵求导来计算的，它的计算方式更加简洁高效，不需要大量迭代，只需解一个正规方程组。

 

在开始之前，首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下

 

一个

的矩阵

的迹是指

的主对角线上各元素的总和，记作

。即

 

           

 

 

                        

             

 

好了，有了上述7个定理，就可以来求最小二乘解了。设

 

  

 

那么进一步得到

 

    

 

接下来会涉及到矩阵求导，因为

 

    

 

那么进一步利用矩阵求导并利用上述定理，得到

 

    

 

我们知道在极值点处梯度值为零，即

 

    

 

上述得到的方程组叫做正规方程组，那么最终得到

 

    

 

这样最小二乘问题只需解一个线性方程组即可，不再需要像梯度下降那样迭代了。

 

既然说到了正规方程组，在介绍一种方程组，叫做超定方程组，它的定义为：把方程个数大于未知量个数的方

程组叫做超定方程组。通常来说，对于一个超定方程组

来说，求最小二乘解只需要两边同时乘

的转置，然后得到正规方程组

，然后解这个方程就得到了最小二乘解。