1.4 张量操作

定义1.17 Mode-n Unfolding

An = tl.unfold(X,mode=n)

例如mode0展开，X的第0位就是矩阵的第0维，接下来是000,001,002这样子排

比如X[0,:,:]是这样的

展开的X0就是这样的，把X[0.:.:]变成了一行

1.5.2 模式积

式1.43和1.45的验证

A = tl.tensor(np.array([[[1,14,15],[23,6,20],[24,18,8],[24,18,8]],
                        [[15,8,7],[28,12,17],[21,29,23],[24,18,8]],
                        [[9,5,3],[7,22,26],[21,1,19],[24,18,8]]]))

# J*I1
U0 = np.array([[1,3,7],
               [3,5,7]])
V1 = np.array([[1,3,7,1],
               [3,5,7,4],
               [3,5,7,8]])

C = tl.tenalg.mode_dot(A,U0,0)
C_unfold0 = tl.unfold(C,mode=0)

UA0 = [e-mail](A,mode=0)

存在这种性质：

交换顺序的证明：

AUV = tl.tenalg.multi_mode_dot(A,[U0,V1],[0,1])
AVU = tl.tenalg.multi_mode_dot(A,[V1,U0],[1,0])

模式n合并性质的证明

A = tl.tensor(np.array([[[1,14,15],[23,6,20],[24,18,8]],
                        [[15,8,7],[28,12,17],[21,29,23]],
                        [[9,5,3],[7,22,26],[21,1,19]]]))

U0 = np.array([[1,3,7],
               [3,5,7],
               [5,1,4]])
V1 = np.array([[1,3,1],
               [3,7,4],
               [5,7,8]])
AVU = tl.tenalg.multi_mode_dot(A,[V1,U0],[0,0])
dirAUV = tl.tenalg.multi_mode_dot(A,[U0@V1],[0])

注意，如果要用skip且用上了modes，则mode列表的长度要和张量阶次相等，不然可能会出错

B = tl.tensor(np.array([[[1,14,15],[23,6,20],[24,18,8]],
                        [[15,8,7],[28,12,17],[21,29,23]],
                        [[9,5,3],[7,22,26],[21,1,19]]]))

U0 = np.array([[1,3,7],
               [3,5,7],
               [5,1,4]])
U1 = np.array([[111,13,17],
               [34,45,27],
               [54,71,54]])
U2 = np.array([[11,1.3,17],
               [4,4.5,2.7],
               [4,7,54]])

B03hat = tl.tenalg.multi_mode_dot(B,[U0,U1,U2],skip=1, modes=[0,1,2],transpose=True)
B03 = tl.tenalg.mode_dot(tl.tenalg.mode_dot(B,U0.T,0),U2.T,2)

B1hat = tl.tenalg.multi_mode_dot(B,[U0,U1],skip=0, modes=[0,1],transpose=True)
B1 = tl.tenalg.mode_dot(B,U1.T,1)

连续模式积的性质，证明过程，详见Multilinear operators for higher-order decompositions但是，这个tensor unfoldding是大端顺序，而tensorly和我们平常用的是小端顺序

所以常用的话，应该把上面的克罗内克积顺序颠倒，即A（1）A(2)。。。A（N）

python代码处理：

# 模式积连乘
B = tl.tensor(np.array([[[1,14,15],[23,6,20],[24,18,8]],
                        [[15,8,7],[28,12,17],[21,29,23]],
                        [[9,5,3],[7,22,26],[21,1,19]]]))

U0 = np.array([[1,3,7],
               [5,1,4]])
U1 = np.array([[111,13,17],
               [54,71,54]])
U2 = np.array([[11,1.3,17],
               [4,7,54]])

X0 = tl.unfold(tl.tenalg.multi_mode_dot(B,[U0,U1,U2]),mode=0)
# 小端
X0hat0 = [e-mail](B,mode=0)@(tl.tenalg.kronecker([U1, U2]).T)
# 大端
X0hat1 = [e-mail](B,mode=0)@(tl.tenalg.kronecker([U2, U1]).T)

同样的，向量化vectorization满足

因为

其中这种下标记法为：，就是动的时候先动3，3动完了再动1