2022考研数学-概率论教程

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概率论

第一章 随机事件和概率

1.1 事件，样本空间，事件间的关系与运算

1.1.1 随机试验

对随机现象进行观察或实验称为随机试验，简称试验

特点

• 可以在相同条件下重复进行
• 所得的可能结果不止一个，且所有可能结果都能事前可知
• 每次具体实验之前无法预知会出现那个结果

1.1.2 样本空间

随机试验的每一结果称为样本点，记做w,由所有的样本空间点全体组成的集合为样本空间

1.1.3 随机事件

1.1.4 事件的包含

$如果事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A，或称事件A 包含事件B，记为B\supset A，或者A\subset B$

1.1.5 事件的相等

$如果A\supset B 与B\supset A 同时成立,称这样子的一个事件A与事件B 相等，记做A=B$

1.1.6 事件的交

$如果事件A与事件同时发生，就称这样子的一个事件为事件A与事件B 的交或积,记做A\cap B或AB$

1.1.7 互斥事件

$如果事件A与B 的关系AB=\varnothing,即A与B不能同时发生，则称事件A与事件B 为互斥事件或互不相容$

1.1.8 事件的并

$如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件A与事件B 的并或和，记为A\cup B$

1.1.9 对立事件

$如果事件A与事件B仅有一个发生，即同时成立A\cup B=\Omega,A\cap B=\varnothing,\\ 则称事件A与事件b为对立事件或互逆事件，记为\overline{A}=B,或者\overline{B}=A$

1.1.10 事件运算规律

交换律
结合律
分配律
对偶律

1.2 概率，条件概率，独立性

1.2.1 概率公理

$P(A)\ge 0 \\ 对于必然事件 P(\Omega)=1\\ 对于两两互斥的有限个事件A_1,A_2,\cdots,A_n 有P(A_1\cup A_2\cdots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)$

1.2.2 条件概率

$设A,B两个事件，且P(A)>0,称P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\\ 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率$

1.2.3 事件的独立性

$设A,B两事件满足等式P(AB)=P(A)P(B)\\,则称A与B 相相独立\\ 同理可得P(A_{i_{1}}A_{i_{2}}\cdots A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})\cdots P(A_{i_{k}})\\ 三个两两独立，才能推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

特殊性
$\Omega 和\varnothing$

1.2.4 概率的性质

$P(\varnothing)=0\\ 对于两两互斥的有限个事件A_1,A_2,\cdots,A_n 有P(A_1\cup A_2\cdots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)\\ P(\overline{A})=1-P(A)\\ A\subset B,P(A)\le P(B)\\ 0\le P(A)\le 1$

1.2.5 相互独立的性质

$A与B 相互独立的充要条件是A与\overline{B}或\overline{A}与B 或\overline{A}与\overline{B}相互独立 \\ 当0<P(A)<1时，A与B 独立等价于P(B|A)=P(B)或P(B|A)=P(B|\overline{A})$

1.2.6 五大公式

加法公式

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$

减法公式

$P(A-B)=P(A)-P(AB)\\ P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$

乘法公式

$P(AB)=P(A)P(B|A)$

全概率公式

$设B_1,B_2,\cdots,B_n,\bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega,B_iB_j=\varnothing ,且P(B_k)>0,则有\\ P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)$

贝叶斯公式

$设B_1,B_2,\cdots,B_n,\bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega,B_iB_j=\varnothing ,且P(B_k)>0,k=1,2,\cdots,n，则\\ P(B_j|A)=\frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)},j=1,2,\cdots,n$

1.3 古典概型与伯努利概型

1.3.1 古典型概率

1.3.2 几何形概率

1.3.3 n重伯努利实验

二项式概率公式

$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

1.4 例题，错题

考点	问题	解答
	$AC=\varnothing,P(AB)=\frac{1}{2},P©=\frac{1}{3},则P(AB	\overline{C})=$

第二章 随机变量及其概率分布

2.1 随机变量及其分布函数

1） 随机变量

$在样本空间\Omega 上的实值函数X=X(w),w\in \Omega,称X(w)为随机变量，记做X\\ X(w)的定义域是\Omega ,常用X,Y,Z等表示随机变量$

2）分布函数

$对于任意实数x,记做函数F(x)=P\{X\le x\},-\infty \le x\le +\infty ,称F(x) 为随机变量X 的分布函数\\ 分布函数F(x) 是定义在(-\infty,+\infty)上的一个数值，称F(x)的值等于随机变量X在区间(-\infty,x]内取值的概率，即实践X\le x的概率论$

3）分布函数性质

2.2 离散型随机变量和连续性随机变量

1) 离散型随机变量

如果一个随机变量的可能值是有限个多个或者无穷多个，则称它为离散型随机变量

2) 离散型随机变量X的概率论

$设离散型随机变量X的可能值是x_1,x_2,\cdots,x_n,X，\\ 取各种可能值的概率论为P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots$

分布律也用列表方式
$\begin{array} {|c}X&x_1&x_2&x_3& \cdots&x_n\\ \hline P&p_1&p_2 & p_3&\cdots &p_n\end{array}$

3) 连续型随机变量及其概率

$如果对随机变量X的分布函数F(x),存在一个非负可积函数f(x),使得对任意实数x,都有\\ F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt,-\infty <x<+\infty\\ 称为X 为连续型随机变量，函数f(x)称为X的概率论$

4) 分布律性质

$p_k\ge 0,k=1,2,3,\cdots \\ \sum_{k=1}^{+\infty}p_k=1$

5) 概率论f(x)性质

$f(x)>0\\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\\ 对任意实数x_1<x_2,有P\{x_1<X\le x_2\} =\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\\ 在f(x)的连续点处有F^\prime (x)=f(x)\\ 如果X是连续型随机变量，则显然有P\{x_1< X\le x_2 \}=P\{ x_1\le X\le x_2\}$

2.3 常用分布

分布名称	概念	符号表示	期望	方差
0-1分布	Cannot read property 'type' of undefined
二项分布
超几何分布
泊松分布
均匀分布
指数分布
正态分布
标准正态分布

性质

正态分布
	$X\sim N(0,1),有P{
指数分布
泊松定理

2.4 随机变量函数的分布

2.4.1 离散型随机变量的函数分布

$设X的分布律为P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,3,则Y=g(X)的分布律为P\{Y=g(x_k)\}=p_k,1,2,3.在g(x_k)有相同的数值，则他们的概率也是一样$

2.4.2 连续型随机变量的分布⭐️

$先求Y的分布函数 F_{Y(y)}=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=\int_{g(x)\le y}f_{X}(X)dx$

$假设随机变量X服从参数2的指数分布，证明随机变量Y=1-e^{-2X}在区间[0,1]上服从均匀分布\\ 证明：变量X的分布函数\\ F_x(X)=\begin{cases}1-e^{-2X},X>0,\\ 0,x\le 0\end{cases}\\ 当x>0时，0< Y=1-e^{-2x}< 1\\ 当x<0 时，Y<0\\ 所以F_y(Y)=F_x(-\frac{1}{2}ln(1-y))=1-(1-y)=y\\ F_Y(y)=\begin{cases}0,y\le 0,\\ y,0<y<1\\ 1,y>1\end{cases}，所以服从均匀分布$

2.5 例题，错题

	X-分布函数	X-离散型	X-连续型
定义
充要条件

第三章 多维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量以及分布

	二维随机变量分布	二维离散型随机变量分布
概念
分布
边缘分布
条件分布
边缘及其密度
边缘密度
条件密度

F(x,y)的性质

$对于任意的x,y,0\le F(x,y) \le 1\\ F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,+\infty)=0\\ F(x,y)关于x和关于y 均单调不减\\ F(x,y)关于x和关于y是右连续\\ P\{a<X\le b,c<Y\le d\}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)$

P{X=x_i,Y=y_i}=p的特性

$p_{ij}\ge 0\\ \sum_{i}\sum_{j}p_{ij}=1$

f(x,y)的特性

$f(x,y)\ge 0\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$

3.2 随机变量的独立性

3.2.1 独立性

$如果对任意x,y，都有\\ P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}\\ F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$

3.2.2 相互独立充要条件

$离散型随机分布X和Y相互独立的充要条件，对任意i,j=1,2,\cdots,\\ P\{X=x_i,Y=y_i\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_i\}\\ p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}\\ 连续型随机变量X,和Y相互独立的充要条件，对于任意x,y成立\\ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

3.3 二维均匀分布和二维正态分布

3.3.1 二维均匀分布

$概率密度为\\ f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{A},(x,y)\in G\\ 0,其他\end{cases}$

3.3.2 二维正态分布

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}\\ 记做(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$

3.3.3 重要性质

3.4 二维随机变量函数Z=g(X,Y)分布

3.4.1 X,Y都是离散型随机变量

3.4.2 X,Y都是连续型随机变量

3.4.3 X 为离散型随机变量。Y是连续型随机变量

3.5 例题

第四章 随机变量的数字特征

4.1 随机变量的数学期望

4.1.1 数学期望

定义

$离散型随机变量的数学期望，如果级数\sum_{k=1}^{+\infty }x_kp_k 绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望，记做E(X)\\ 连续型随机变量的数学期望，设随机变量X的概率密度为f(x),E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$

性质

4.1.2 方差

定义

$设X是随机变量，如果数学期望E\{[X-E(x)]^2\}存在，则称之为X的方差，记做D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}$

计算公式

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

性质

常见的方差和期望

分布名称	概念	符号表示	期望	方差
0-1分布	Cannot read property 'type' of undefined
二项分布
超几何分布
泊松分布
均匀分布
指数分布
正态分布
标准正态分布

4.2 矩，协方差和相关系数

4.2.1 矩

4.2.2 协方差

$对于随机变量X和Y,如果E\{[X-E(x)][Y-E(Y)]\}都存在\\ Cov(X,Y)=E\{ [X-E(X)]\}E\{ [Y-E(Y)] \}$

4.2.3 相关系数

$\rho_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$

4.2.4 性质

第五章大数定律和中心极限定理

切比雪夫定律
依概率收敛
切比雪夫大数定律
辛钦大数定律

第六章数理统计的基本概念

6.1 总体，样本

6.1.1 总体

数理统计中所研究对象的某项数量指标X的全体称为总体

6.1.2 样本

$如果X_1,X_2，X_n 相互独立且都与总体X 同分布则称X_1,X_2 ，X_n 来自总体X的简单随机样本，简称为样本，n为样本总量.样本的具体观察值x_1,x_2,x_n 称为样本值，称总体X的n个独立观察值$

6.1.3 统计量

$样本X_1,X_2,\cdots,X_n 的不含未知参数的函数T=T(X_1,X_2,X_n)称之为统计量$

6.1.4 数字特征

6.1.5 样本特征的性质

第七章 参数估计

7.1 点估计

7.2 估计量的求法和区间估计

第八章 假设检验