预备知识：
矢量场、矩阵正定负定、矩阵奇异。
1.李雅普诺夫稳定的定义：
系统，在平衡状态下，受到扰动，能够，经过足够长时间，恢复到平衡的，一种能力；
2.自治系统：
无外部输入作用的，平衡态为静止态的系统；
3.一般系统平衡状态和平衡点：
假设存在系统
，对于所有时间t，如果某个状态x满足
，则此状态x为系统的平衡状态，记作
；在式子
所确定的所有状态点，被称为平衡点；
3.线性系统平衡状态和平衡点：
假设存在线性系统
，其满足：在状态
处，
，则称
为系统的平衡状态；在式子
所确定的所有状态点，被称为平衡点；当系统矩阵
是非奇异矩阵时（行列式值为0，则为奇异矩阵，反之则为非奇异矩阵），系统存在唯一平衡点
；
4.大范围渐近稳定的系统：
不论系统的初始状态，在经过足够足够足够长时间，系统总是能够回到平衡点附近，且不断向着平衡点靠近，的系统；
5.线性系统中的大范围渐进稳定：
根据系统叠加原理，如果系统是渐进稳定的，那么系统一定是大范围渐进稳定的；
同样，如果线性系统的初始状态不稳定，那么系统也一定发散；
6.李雅普诺夫第一法（间接法）：
对于线性定常系统，根据系统特征方程求解出特征根即可作稳定性判别；
数学定义：
假设存在线性系统
，其系统矩阵
的特征值
具有负的实部，也就是说，系统矩阵
负定，函数图像是凹的，收敛于底部平衡点，那么该系统是李雅普诺夫稳定的；
对于非线性不严重的系统，利用线性化进行处理转化为线性系统进而利用特征根的方法判别；
7.李雅普诺夫第二法（直接法）：
源自古典力学的观点：系统如果能量不能随时间而增加，那它最后必然趋于稳定；系统如果有一个渐进稳定的平衡状态，那么当系统运动到这个平衡状态附近时，其急需的能量会随时间的增长而衰减，直到到达平衡状态时获得最小值；
数学定义：
（1）假设存在系统
，假设存在具有连续一阶导数的标量函数
（到达平衡状态的一条路径），那么在其平衡点附近的一个邻域
假设存在：1）
正定且有界、2）
负定且有界，则可以认为系统在平衡状态的邻域
内是一致渐进稳定的；如果对系统任意初始状态都满足上述条件，那么该邻域覆盖了整个系统定义域，可以认为系统大范围一致渐进稳定；上述路径（标量函数）
，被称作李雅普诺夫函数；该函数不唯一，可以为简单标准的二次形式（能量形式）：
，也可以是其它形式；（2）对于线性定常系统
，其在平衡状态
处，对任何给定的一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，这二者满足
，也就是说：
，则称该系统是大范围渐进稳定的；
通过这个不等式，可以利用LMI（线性矩阵不等式）来进行求解：是否存在这个矩阵P。
