Hodkin-Huxuly方程，那么对于动力系统的了解必然是不可少的，这有助于我们明晰H-H方程的动力学性质，以及混沌特性。在更新完动力系统的部分之后，我可能会稍微把H-H方程的模拟说一下，更多的还是基于文献的数据。
我的打算是把动力系统讲得简单易懂，让一个高中生都能够理解的程度。对于其中的概念，我不仅会单独给出数学上的定义，还会用形象化的语言去描述这个概念的意义。
坐标的时间微分是由坐标和时间的函数关系给出的。如果其时间微分不显含t，则称之为自治方程；如果显含时间t，那么称之为非自治方程。
更多情况下我们考虑自治方程，它是形式如下的等式：
其中
大多数情况下表示连续函数，因为他们的光滑性足够好，处理起来比较方便。在上面的式子中，坐标分别为
，它们对时间t的导数存在这样的函数关系。
当然，上面的表述是十分繁复的，对于高维的情况，需要写出大量的微分方程。因此我们引入向量来简化上面的表述。以后我们用无脚标的
表示向量，即
。然后，我们用
表示一个
的映射，用
来表示这个函数向量的第一个分量。在这里，我们用大写的字母表示一个函数向量，用小写或者脚标的形式来表示一个分量。
1，连续性的影响
下面我们来讨论一下连续性的影响。显然，对于一个映射，必然存在一个定义域，在定义域之外，我们不讨论动力系统的图像。
对于上述微分方程组，只要
有可积性，那么理论上，它的解是存在的。微分方程组的解也许可以用一定的解析形式表达出来，这种解我们称之为
解析解，但是对于绝大多数的微分方程而言，解析解是不存在的。我们在这里不给出不存在解析解的证明，以及存在解析解的条件，因为这对于我们来说并不是很重要。但是，在无限精度的情况下，存在微分方程的
数值解。对于微分方程的解，我们统称为
流（flow）。
场，场是引入流不可或缺的。
首先我们以上面的式子为例，给出一个二维坐标平面
，在二维平面中，我们可以定义每一点的方向向量
，只要对平面内的每一个点，都做这样的方向向量的运算，我们就可以得到一个
平面矢量场。对其中每一个点，沿着方向向量方向走无限小的距离，就可以到达另一个点，不停地这样操作，我们就可以得到一条曲线。如果
是连续的，那么我们得到的是一条光滑的曲线。（证明从略）
所有的这样的光滑曲线，组成的一个集合，我们称之为
，其中的每一个元素，都是上述微分方程组的一个解。
流是不相交的，因为相交会出现一个问题：在交点处，存在两个方向向量，但是，按照我们的定义，某一点的方向向量是惟一的，因而矛盾。更严谨的数学证明不给出。
连续的函数给出的流的性质是“好的”。因为它在定义域内是光滑的，这十分有利于分析。如果
的其中一个分量不是连续的，那么其图像会产生“
拐点”，因此其分析性质是不够“好的”。
下面给出一个例子，是洛伦兹系统的流的示意图。（注：这里给出的是数值计算的结果，严格来说是不够精确的，在更小的迭代步长和更高的迭代次数的情况下，其图像的“腹腔”相比于该例图更下收缩。）
洛伦兹系统的流的图像。右端下凹部分趋向了洛伦兹吸引子，吸引子的图像在下面给出。迭代的起始点为（500,500,500）
洛伦兹吸引子的放大图像。
2，流的体积变化
表示起始点为
的流，经过时间
演化后的位置
。（我们默认
为点）因此，流是一个动态的概念，我们不应该仅仅考虑其静态的局部。
流的群性质。易知：
。这便是流的群性质。
发散量的概念。其实，发散量的概念，与场中的散度的概念是一样的。我们首先回顾一下场的散度的概念。对于一个矢量场
，其散度为：
。其含义为，用哈密顿算符作用于函数矢量
，得到的结果为散度。散度是指朝每个方向的发散量的总和，其和表示体积膨胀的变化率。
发散量的概念与之类似，用以衡量流上一点的体积变化率。事实上谈论一个点的体积变化率是没有意义的，因为一个点的定义就是要求无穷小，自然没有体积变化率的概念。在这里，我们指的更多是一个足够小半径的球，这个足够小半径的球中的每一点，我们都将其取为初始点，也就是说，是这样的一个集合A：
其中，
表示的是以下集合
,
表示该空间中的一点，
表示一个足够小的半径。将这两个集合分开写，是为了便于理解。因为我们这里需要一个动态的集合和一个静态的集合，
表示动态的集合，
表示了静态的集合，因此我们令A是时间t的函数，在t=0时，
。
Liouville公式，这个公式实际上是单变量微积分中微分方程的Liouville公式在动力系统中的推广。
对于系统
，我们称其发散量为
，那么，对于上述的
和
，我们有：
。
是指通常意义下的
Lebesgue测度。
对于Liouville公式，有一个非常简单而直接的例子，就是当发散量为0时，
的测度是不随时间变化而变化的。
3，小偏差与李雅普诺夫指数
对于动力系统的偏导数矩阵，通常概念下的偏导数是毫无意义的。因为其某一点的偏导数向量方向与该点场的方向是一致的。这是动力系统独特的方程形式所带来的，因此，我们用如下的方法来定义其偏导数矩阵。
在此之前，在正交单位向量基中，我们约定
表示第
个方向的单位向量。
在上述约定下，我们称，对
的偏导数矩阵是指如下的形式：
用形象化的方法来解释，就是：流的第
个方向对
求偏导数，就是对
在
方向有个长为
的小偏差作用下得到的新的流的第
个方向的偏差在
时的极限。
这一点正满足了我们研究动力系统的需求，因为我们考虑一个动力系统，不关心它的静态性质，而是关注它的动态演化性质，而以上的偏导数矩阵定义，很好地满足了这个要求，虽然从计算上来说非常复杂，绝大多数下都需要通过数值计算去得到。
李雅普诺夫指数。
首先需要声明，对于一个高维系统（
），其李雅普诺夫指数一共有
个，而且其中必定有一个方向的李雅普诺夫指数是0。我们考虑其中一个李雅普诺夫指数，永远伴随着这个李雅普诺夫指数所对应的方向。
接下来，我们讨论发散量为常数的动力系统。
我们称小偏差的方向为
，是指讨论的第
个方向的小偏差（我们用上标表示第
个向量），
当所有的小偏差方向正交时，所有方向的李雅普诺夫指数之和为发散量。
我们称小偏差通过演化之后得到的大偏差为
，有了这些概念，就可以开始介绍李雅普诺夫指数了。
对于某个方向
，我们称这个方向的李雅普诺夫指数
是按照如下方式定义的：
=
表现了系统演化的最终走向。对于一个初始点来说，可能某个方向的李雅普诺夫指数是正的，而另一个是负的。最后的最后，对于一个初始点，其沿着该点场的方向的李雅普诺夫指数为0，证明从略，但是从直观上我们也可以理解，那就是如果在每一点都沿着场的方向一直走，那么就不会产生偏差，上述极限式的分子一直为0。
对于数学基础不是特别扎实的人，可以单单看每个定义后面的简要文字描述，可能会更好理解一点。
最后的最后，我们来谈论一下洛伦兹吸引子的测度。显然，整个空间都是洛伦兹系统的吸引域（吸引域的概念会在下篇文章给出）。而洛伦兹吸引子的范围是很小的，我们可以考虑这样的一个吸引域：
，其测度为
我们使用的参数为
，算得其发散量为
，因此按照Liouville公式，可以得到其极限体积为0。然而，洛伦兹吸引子的混沌特性包括了每一点附近的轨道都是稠密的。因此，尽管看起来洛伦兹吸引子非常优美，而且占据一定的空间。
但是，洛伦兹吸引子的测度为0。
