python 李雅普诺夫指数计算程序 李雅普诺夫指数大于零

文章目录

• 一、李雅普诺夫关于稳定性的定义

• 1.李氏意义下的稳定
• 2.渐近稳定
• 3.大范围渐近稳定
• 4.不稳定

• 二、李雅普诺夫第一法

• 1.线性系统的稳定判据
• 2.非线性系统的稳定判据

• 三、李雅普诺夫第二法

• 1.标量函数的定号性
• 2.稳定性原理

• 四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
• 五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

• 1.雅可比矩阵法
• 2.变量梯度法

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一、李雅普诺夫关于稳定性的定义

系统$\dot x=f(x,t)$,若存在状态$x_e$满足$\dot x_e\equiv 0$,则该状态为平衡状态

1.李氏意义下的稳定

系统对于任意选定的实数$\varepsilon>0$,都存在一个实数$\delta>0$,当满足$||x_0-x_e||\leq\delta$

从任意$x_0$出发的解都满足$||\Phi-x_e||\leq\varepsilon$

则称平衡状态为李氏意义下的稳定

2.渐近稳定

解最终收敛于$x_e$

3.大范围渐近稳定

从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态$x_e$为大范围内渐近稳定

4.不稳定

不管$\delta$有多小，只要由$S(\delta)$内出发的状态轨迹超出$S(\varepsilon)$ 以外，则称此平衡状态是不稳定的

二、李雅普诺夫第一法

1.线性系统的稳定判据

李氏稳定（状态稳定）的充要条件：系统矩阵A的全部特征值位于复平面的左半部
输出稳定的充要条件：传递函数$W(s)=C(SI-A)^{-1}B$的全部极点位于复平面左半部
PS：输出稳定不一定状态稳定，可能存在零极点对消

2.非线性系统的稳定判据

非线性系统状态方程$\dot x=f(x)$

$f(x)=[f_1,f_2\cdots f_n]$

向量函数的雅可比矩阵：

原非线性状态方程化为线性状态方程$\Delta\dot x=\frac{\partial f}{\partial x^T}\Delta x$

其中$\Delta x=x-x_e$

然后可套用线性系统的稳定判据

三、李雅普诺夫第二法

1.标量函数的定号性

$V(x)$为x所定义的标量函数，对于任何非零矢量x，如果：
1）$V(x)>0$,则为正定的
2）$V(x)\geq0$,则为半正定的
3）$V(x)<0$,则为负定的
3）$V(x)\leq0$,则为半负定的

2.稳定性原理

1、$V(x)$正定,$\dot V(x)$负定，在原点是渐近稳定的
并且如果$||x||->\infty,V(x)->\infty$,则系统是大范围渐近稳定的
2、$V(x)$正定,$\dot V(x)$半负定，在非零状态$\dot V(x)$ 不恒为 0,在原点是渐近稳定的
3、$V(x)$正定,$\dot V(x)$半负定，在非零状态$\dot V(x)$ 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定
4、$V(x)$正定,$\dot V(x)$正定，在原点是不稳定的
5、$V(x)$正定,$\dot V(x)$正半定，在非零状态$\dot V(x)$ 不恒为 0,在原点是不稳定的
6、$V(x)$正定,$\dot V(x)$正半定，在非零状态$\dot V(x)$

四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

选定正定二次型函数$V(x)$为李氏函数
$V(x)=x^TPx$
$\dot V(x)=x^T(PA+A^TP)x$
令$Q=-(PA+A^TP)$
如果Q正定，则系统是大范围渐进稳定的
判定稳定性的步骤：
1、选取正定矩阵Q（通常是单位阵）
2、由$Q=-(PA+A^TP)$求P
3、判断P的正定性
4、稳定性结论

五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

1.雅可比矩阵法

$\dot x=f(x)$

判定稳定性的步骤：

1、求雅可比矩阵

2、克拉索夫斯基表达式：$Q(x)=-[J^T+J]$

3、判断Q的正定性

4、稳定性结论

PS：克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件不是必要条件

2.变量梯度法

1、设$\nabla V=$

2、$\dot V(x)=(\nabla V)^T\dot x$

限定$\dot V(x)$为负定

3、利用$\frac{n(n-1)}{2}$个旋度方程确定$\nabla V$中的未知数

4、计算并验证V正定性

5、确定系统渐进稳定的范围