ECC加密算法代码 ecc加密算法 c实现

【实验名称】ECC算法

 

【实验目的】

1、掌握密码学中常用的公钥密码算法ECC的算法原理；

2、掌握ECC的算法流程和实现方法。

 

【实验原理】

椭圆加密算法（ECC）是一种公钥加密体制，最初由Koblitz和Miller两人于1985年提出，其数学基础是利用椭圆曲线上的有理点构成Abel加法群上椭圆离散对数的计算困难性。

ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥，比如RSA加密算法，提供相当的或更高等级的安全。ECC的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil对或是Tate对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。不过一个缺点是加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长。

 

【实验内容】

实验内容： 完成数据的加密运算和解密运算，输入明文：security，输入密钥：cryption 对ASCII码进行加密和解密。

代码：（代码解释见代码中注释）

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<time.h>
using namespace std;

class point
{
public:
	int x;
	int y;
};
point P[100];
int num = 0;

//取模
int my_mod(int a, int p)
{
	//注意负数情况要加上一个p
	int i;
	i = a / p;
	int re = a - i * p;
	if (re >= 0)
	{
		return re;
	}
	else
	{
		return re + p;
	}
}

//幂次运算，含模运算，防止溢出
int my_pow(int a, int m, int p)
{
	int result = 1;
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		result = (result*a) % p;
	}
	return result;
}

//用于求y,并判断平方根是否为整数 
int my_sqrt(int s)
{
	int t;
	t = (int)sqrt(s);
	if (t*t == s)
	{
		return t;
	}
	else {
		return -1;
	}
}

void all_points(int a,int b,int p)
{
	for (int i = 0; i < p; i++)
	{
		int s = i * i * i + a * i + b;
		while (s < 0)
		{
			s += p;
		}
		s = my_mod(s, p);
		//判断是否为平方剩余
		//p为23，是奇素数
		//Euler准则
		int re = my_pow(s, (p - 1) / 2, p);
		if (re == 1)
		{
			//求y
			int n = 1, y;
			int f = my_sqrt(s);
			if (f != -1)
			{
				y = f;
			}
			else 
			{
				for (; n <= p - 1;)
				{
					s = s + n * p;
					f = my_sqrt(s);
					if (f != -1)
					{
						y = f;
						break;
					}
					n++;
				}
			}
			y = my_mod(y, p);
			P[num].x = i;
			P[num].y = y;
			num++;
			if (y != 0)
			{
				P[num].x = i;
				P[num].y = (p - y) % p;
				num++;
			}
		}
	}		
}

void show()
{
	for (int i = 0; i < num; i++)
	{
		cout << P[i].x << " " << P[i].y << endl;
	}
}


//扩展欧几里得法，递归法
int extend(int a, int b, int&x, int&y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = extend(b, a % b, x, y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return r;
}

//借助递归扩展欧几里得求逆
int inv(int a, int b)
{
	int x, y;
	int r = extend(a, b, x, y);
	if (r != 1)
	{
		return 0;
	}
	x = x % b;
	if (x < 0)
	{
		x = x + b;
	}
	return x;
}


//两点的加法运算 
point add(point p1, point p2, int a, int p)
{
	long t;int flag = 0;
	int x1 = p1.x;int y1 = p1.y;
	int x2 = p2.x;int y2 = p2.y;
	int tx, ty;int x3, y3;
	
	if ((x2 == x1) && (y2 == y1))
	{
		//相同点
		if (y1 == 0)
		{
			flag = 1;
		}
		else 
		{
			t = (3 * x1*x1 + a)*inv(2 * y1, p) % p;
		}
	}
	else 
	{
		//不同点相加
		ty = y2 - y1;
		tx = x2 - x1;
		while (tx<0)
		{
			tx = tx + p;
		}
		while (ty<0)
		{
			ty = ty + p;
		}
		
		if (tx == 0 && ty != 0)
		{
			flag = 1;
		}
		else 
		{
			//点不相等
			t = ty * inv(tx, p) % p;
		}
	}
	
	if (flag == 1)
	{
		//无限点
		p2.x = -1;
		p2.y = -1;
	}
	else 
	{
		x3 = (t*t - x1 - x2) % p;
		y3 = (t*(x1 - x3) - y1) % p;
		while (x3<0)
		{
			x3 += p;
		}
		while (y3<0)
		{
			y3 += p;
		}
		p2.x = x3;
		p2.y = y3;
	}
	return p2;
}

//随机选取一个生成元并计算阶
int jie(point &pp, int a, int p)
{
	int ii = rand() % num;
	point P0 = P[ii];
	point p1, p2;
	int number = 1;
	p1.x = P0.x; p2.x = P0.x;
	p1.y = P0.y; p2.y = P0.y;
	while (true)
	{
		p2 = add(p1, p2, a, p);
		if (p2.x == -1 && p2.y == -1)
		{
			break;
		}
		number++;
		if (p2.x == p1.x)
		{
			break;
		}
	}
	pp.x = p1.x;
	pp.y = p1.y;
	int n = ++number;
	return n;
}

//素数判断
bool judge(int num)
{
	bool ret = true;
	int ubound = sqrt(num) + 1;
	for (int i = 2; i < ubound; i++)
	{
		if (num % i == 0)
		{
			ret = false;
			break;
		}
	}
	return ret;
}

//计算kG
point cal(point G, int k, int a, int p)
{
	point temp = G;
	for (int i = 0; i < k - 1; i++)
	{
		temp = add(temp, G, a, p);
	}
	return temp;
}

int main()
{
	srand(time(NULL));
	int a, b, p;
	point generator; int n;
	char SE[10];
	char CR[10];

	cout << "请输入椭圆曲线群（a,b,p）：";
	cin >> a >> b >> p;
	cout << "请输入明文：";
	cin >> SE;
	cout << "请输入密钥：";
	cin >> CR;

	//计算所有点
	all_points(a, b, p);
	//选取生成元，直到阶为素数
	do
	{
		n = jie(generator, a, p);
	} while (judge(n) == false);
	cout << endl << "选取生成元（" << generator.x << "," << generator.y << "）,阶为：" << n << endl;
	//选取私钥
	int ka = int(CR[0]) % (n - 1) + 1;//选取使用的密钥
	point pa = cal(generator, ka, a, p);//计算公钥
	cout << "私钥：" << ka << endl;
	cout << "公钥：（" << pa.x << "," << pa.y << "）" << endl;

	//加密
	int k = 0;//随机数k
	k = rand() % (n - 2) + 1;
	point C1 = cal(generator, k, a, p);//计算C1
		
	//m嵌入到椭圆曲线
	int t = rand() % num; //选择映射点
	point Pt = P[t];
	point P2 = cal(pa, k, a, p);
	point Pm = add(Pt, P2, a, p);
	cout << endl << "要发送的密文：" << endl;
	cout << "kG=(" << C1.x << "," << C1.y << "),pt+kPa=(" << Pm.x << "," << Pm.y << ")";
	int C[100];
	cout<<",C = { ";
	for (int i = 0; i<strlen(SE); i++)
	{
		C[i] = int(SE[i]) * Pt.x + Pt.y;//选取要加密的明文
		cout<< C[i] <<" ";
	}
	cout << "}" << endl;

	
	//解密
	point temp, temp1;
	int m;
	temp = cal(C1, ka, a, p);
	temp.y = 0 - temp.y;
	temp1 = add(Pm, temp, a, p);//求解Pt 
	printf("\n解密结果：\n");
	for (int i = 0; i<strlen(SE); i++)
	{
		m = (C[i] - temp1.y) / temp1.x;
		printf("%c", char(m));//输出密文 
	}
	printf("\n");

	return 0;
}

运行演示：

 

【小结或讨论】

这一次是实验可以说是很有难度的。虽然这个实验和之前的ElGamal算法原理相似，但是其主要是引入了椭圆曲线群。有限域上的椭圆曲线，再加上自己定义的“+”法，其中又涉及到取模、幂次运算、判断平方根、扩展欧几里得法、模数求逆、生成元计算阶、素数判断等等内容，可以说是十分复杂了。

我结合着自己的理解，对算法流程和题目要求做了一些修改，以便更好地实现。由于题目给定的p为23，小了一些，我就不能按照指导书上的流程来完整实现，这不仅是，x取值范围固定为0~22的范围而导致数据无法恢复的问题，还有其可表示的信息太少了，以至于不能表示出26个英文字母的ASCII码值。为了解决这个问题，我结合着网上的一些资料，对把信息m嵌入椭圆曲线的过程做了少许修改，具体实现可以参考上文代码，大概流程就是任意取一个椭圆曲线上的点，C[i] = int(SE[i]) * Pt.x + Pt.y，这样等于隐藏的是我们选择的这一点。解密时通过m = (C[i] - temp1.y) / temp1.x，反向计算即可恢复，这也算是一种信息的嵌入方式。此外，由于给的密文和密钥是英文字符，如果转换成ASCII码我担心计算过程的溢出问题，所以我是拆成一个一个字母处理的，不过这并不影响整个ECC的实现原理和方法。

这一次的实验我感觉有些的综合性，用上了我们之前实验用过的模数求逆、幂次运算、素数判断等，也加上了平方根判断、生成元计算计算等新内容。实验代码虽然不是历次实验最多的，我却觉得是最为复杂的。