ECC加密算法原理 ecc加密算法 c实现

椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

椭圆曲线

一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。

E:y2=ax3+ bx2+cx+d

例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为:

E:y2=x3-2x+4

该椭圆曲线E的图像如图X-1所示，可以看出根本就不是椭圆形。

定义椭圆曲线的运算规则

加法

过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C

二倍运算

上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

正负取反

将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：

无穷远点

如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：　　y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)　　(1,7) (1,16)　　(3,10) (3,13)　　(4,0)　　(5,4) (5,19)　　(6,4) (6,19)　　(7,11) (7,12)　　(9,7) (9,16)　　(11,3) (11,20)　　等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

 

计算xG

相关公式如下：　　有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p　　Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p　　其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

计算2G：　　λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12　　Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6　　Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19　　即2G为点(6,19)

计算3G：　　3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)　　λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3　　Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3　　Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13　　即3G为点(3, 13)

同理计算4G、5G...xG，分布如下图：　

椭圆曲线加解密算法原理

建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥，xG即为公钥。

　　椭圆曲线加密算法原理如下：

　　设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

　　公钥加密： 
　　选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即： 
　　C = {rG, M+rK}，其中K为公钥

　　私钥解密： 
　　M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M 
　　其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法，即ECDSA。 
　　设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

　　私钥签名： 
　　1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。 
　　2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。 
　　3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

　　公钥验证签名： 
　　1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。 
　　2、根据消息求哈希h。 
　　3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。

　　原理如下： 
　　hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s 
　　= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

签名过程

假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要。不同的签名算法使用不同的消息摘要算法。而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。
摘要生成结束后，应用签名算法对摘要进行签名：
产生一个随机数k
利用随机数k，计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名。
这里需要注意的是，因为随机数k的存在，对于同一条消息，使用同一个算法，产生的签名是不一样的。从函数的角度来理解，签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。

验证过程

关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出r和s，然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同，则表示验证成功。否则，表示验证失败。

package main

import (
	"crypto/ecdsa"
	"crypto/elliptic"
	"crypto/rand"
	"crypto/x509"
	"encoding/pem"
	"os"
	"crypto/sha256"
	"math/big"
)

/**
生成椭圆曲线的公钥和私钥；保存到本地文件中
 */
 func GenerateECCKey(){
 	// 生成密钥
	 privateKey, _ := ecdsa.GenerateKey(elliptic.P521(), rand.Reader)
	// 保存密钥
	// x509编码
	 x509PrivateKey, _ := x509.MarshalECPrivateKey(privateKey)

	 //pem编码编码
	 block := pem.Block{
	 	Type:"ecc private key",
	 	Bytes:x509PrivateKey,
	 }

	 //保存到文件中
	 privateFile, _ := os.Create("eccprivate.pem")
	 pem.Encode(privateFile,&block)

	 defer privateFile.Close()

	 保存公钥//
	// x509编码
	 x509PublicKey, _ := x509.MarshalPKIXPublicKey(&privateKey.PublicKey)
	 // pem编码
	 publicBlock := pem.Block{
	 	Type:"ecc public key",
	 	Bytes:x509PublicKey,
	 }

	 publicFile, _ := os.Create("eccpublic.pem")
	 defer publicFile.Close()

	 pem.Encode(publicFile,&publicBlock)
 }

// 使用椭圆曲线进行签名
func Ecc_Sign(msg []byte,path string)([]byte,[]byte){
	//获取私钥
	privateKey := GetEccPrivateKey(path)
	//计算hash值
	myhash := sha256.New()
	myhash.Write(msg)
	resultHash := myhash.Sum(nil)

	//使用私钥对任意长度的hash值（必须是较大信息的hash结果）进行签名，返回签名结果（一对大整数）
	r, s, _ := ecdsa.Sign(rand.Reader, privateKey, resultHash)

	rText, _ := r.MarshalText()
	sText, _ := s.MarshalText()

	return rText,sText
}

// 椭圆曲线校验签名的方法
func Ecc_Verify(path string,msg,rText,sText []byte)bool{
	// 获取公钥
	publicKey := GetEccPublicKey(path)
	// 消息的散列值
	//计算hash值
	myhash := sha256.New()
	myhash.Write(msg)
	resultHash := myhash.Sum(nil)

	var r,s big.Int
	r.UnmarshalText(rText)
	s.UnmarshalText(sText)
	// 校验签名
	result := ecdsa.Verify(publicKey, resultHash, &r, &s)
	return result
}

//从本地获取私钥
func GetEccPrivateKey(path string) *ecdsa.PrivateKey{
	// 从文件中读取数据
	file, _ := os.Open(path)
	fileInfo, _ := file.Stat()
	buf :=make([]byte,fileInfo.Size())
	file.Read(buf)
	defer file.Close()

	// pem解码
	block, _ := pem.Decode(buf)

	// x509解码
	privateKey, _ := x509.ParseECPrivateKey(block.Bytes)

	return privateKey
}
//从本地获取公钥
func GetEccPublicKey(path string) *ecdsa.PublicKey{
	// 从文件中读取数据
	file, _ := os.Open(path)
	fileInfo, _ := file.Stat()
	buf :=make([]byte,fileInfo.Size())
	file.Read(buf)
	defer file.Close()

	// pem解码
	block, _ := pem.Decode(buf)

	// x509解码
	publicKeyInterface, _ := x509.ParsePKIXPublicKey(block.Bytes)

	return publicKeyInterface.(*ecdsa.PublicKey)
}