过河问题
- 一、问题描述
- 二、问题答案
- 三、扩展
- 四、问题推广
- 五、对于本题的最优选择：
- coding
一、问题描述
在漆黑的夜里，甲乙丙丁共四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题：如何设计一个方案，让这四人尽快过桥。
二、问题答案
两人过桥后，需要把手电筒送回，最容易想到的是让最快的人担任来回送电筒。因此，第一种办法：先让甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要17分钟就可以让四个人都过去。
而正确答案是第二种办法：先让甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（2分钟），甲乙再过去（2分钟），总共需要15分钟就可以让四个人都过去。这种方法的关键点，让两个最慢的人同时过桥。
三、扩展
把四人所需要的时间，改变一下分别，是1、4、5、8分钟。
第一种方法：先甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要19分钟就可以让四个人都过去。
第二种方法：先让甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（4分钟），甲乙再过去（4分钟），总共需要21分钟就可以让四个人都过去。
这一次，两个最慢的人一起过去反而更慢了。
这两次方案的差异：次快的人要不要也传递一次手电筒。
假定四个人过河时间是T1,T2,T3,T4且T1＜T2＜T3＜T4，如何选择过桥方案。
第一种过河方法的总时间为：T2＋T1＋T3＋T1＋T4
第二种过河方法的总时间为：T2＋T1＋T4＋T2＋T2
二者之差为：（T1＋T3）-2T2。
结论：如果（T1＋T3）大于2T2，第二种方法优；如果（T1＋T3）小于2T2，第一种方法优；如果（T1＋T3）等于2T2，两种方法无差异。
四、问题推广
现在我们把这个问题推广：如果有N（N大于等于4）个旅行者，假设他们有各自所需的过桥时间有快有慢，各不相同。在只有一只手电筒的情况下，要过上述的一条桥，怎样才能找到最快的过桥方案？
现在我们假定，N个人单独过桥的时间分别是T1,T2,T3,……,Tn，且满足T1＜T2＜T3＜…… ＜Tn。
经过分析，要满足最快过桥，合理的安排包括以下几点：
1）让最快的送手电筒的次数尽可能多些。
2）某些方案中，次快的也送电筒也可能会电筒。
3）让慢的过桥次数尽可能少些；
4）最快的两个先过桥，以保证此二人是能来回送电筒的人；
借助上述结论，来逐步分析多人情形。
当N=5人时，第一次先T1、T2两人过桥，T1把电筒送回，没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5的4人情形。这个时候，需要比较T1＋T4与2T3的大小吗？
第一种方案，还是选择T1来回送电筒，过桥总时间：为T2＋T3＋T1＋T4＋T1＋T5
第二种方案，让慢的一起走，但因为送回电筒的不是T3，而是更快一点的T2,总过桥时间：T2＋T5＋T2＋T3＋T1＋T2。
两种方案两者之差为T1＋T4－2T2，这里与T3没有关系。
当N=6人时，第一次先T1、T2两人过桥，T1把电筒送回，没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5、T6 的5人情形。按照刚才的分析，要比较T1＋T5－2T2的大小。
以此类推，两种方案的差异，只与最快的人、次快的人和次慢的人的单独过桥时间有关，而与其他人的快慢无关。
五、对于本题的最优选择：
先将所有人过河所需的时间按照升序排序，我们考虑把单独过河所需要时间最多的两个旅行者送到对岸去，有两种方式：
1.最快的和次快的过河，然后最快的将船划回来；次慢的和最慢的过河，然后次快的将船划回来，所需时间为：t[0]+2t[1]+t[n-1]；
2.最快的和最慢的过河，然后最快的将船划回来，最快的和次慢的过河，然后最快的将船划回来，所需时间为：2t[0]+t[n-2]+t[n-1]。
coding
def cross(nums):
n = len(nums)
if n == 1:
return nums
if n == 2:
return max(nums)
if n == 3:
return sum(nums)
nums.sort()
ans = 0
while n>3:
ans += min(nums[n-1] + nums[0] + nums[n-2] + nums[0], \
nums[1] + nums[0] + nums[n-1] + nums[1])
n -= 2;
#边界条件讨论
if n == 3:
ans += sum(nums) #只剩三人
else:
ans += nums[1] # 只剩两人,不可能剩一人
return ans
nums = [1,2,5,8]
num = [1,4,5,8]
print(cross(nums))
