线性整数规划
- 一.概述
- 二.用MATLAB求解
- 三.基础例题
- 四.一些实际例题
- 1.背包问题
- 2.指派问题
- 3.钢管切割
一.概述
二.用MATLAB求解
三.基础例题
%% 线性整数规划问题
%% 例1
c=[-20,-10]';
intcon=[1,2]; % x1和x2限定为整数
A=[5,4;
2,5];
b=[24;13];
lb=zeros(2,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)
fval = -fval
%% 例2
c=[18,23,5]';
intcon=3; % x3限定为整数
A=[107,500,0;
72,121,65;
-107,-500,0;
-72,-121,-65];
b=[50000;2250;-500;-2000];
lb=zeros(3,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)
%% 例3
c=[-3;-2;-1]; intcon=3; % x3限定为整数
A=ones(1,3); b=7;
Aeq=[4 2 1]; beq=12;
lb=zeros(3,1); ub=[+inf;+inf;1]; %x(3)为0-1变量
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
四.一些实际例题
1.背包问题
%% 背包问题(货车运送货物的问题)
c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120]; % 目标函数的系数矩阵(最大化问题记得加负号)
intcon=[1:10]; % 整数变量的位置(一共10个决策变量,均为0-1整数变量)
A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2]; b = 30; % 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量(物品的重量不能超过30)
Aeq = []; beq =[]; % 不存在线性等式约束
lb = zeros(10,1); % 约束变量的范围下限
ub = ones(10,1); % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
fval = -fval
2.指派问题
%% 指派问题(选择队员去进行游泳接力比赛)
clear;clc
c = [66.8 75.6 87 58.6 57.2 66 66.4 53 78 67.8 84.6 59.4 70 74.2 69.6 57.2 67.4 71 83.8 62.4]'; % 目标函数的系数矩阵(先列后行的写法)
intcon = [1:20]; % 整数变量的位置(一共20个决策变量,均为0-1整数变量)
% 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量(每个人只能入选四种泳姿之一,一共五个约束)
A = [1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
% A = zeros(5,20);
% for i = 1:5
% A(i, (4*i-3): 4*i) = 1;
% end
b = [1;1;1;1;1];
% 线性等式约束的系数矩阵和常数项向量 (每种泳姿有且仅有一人参加,一共四个约束)
Aeq = [1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
% Aeq = [eye(4),eye(4),eye(4),eye(4),eye(4)]; % 或者写成 repmat(eye(4),1,5)
beq = [1;1;1;1];
lb = zeros(20,1); % 约束变量的范围下限
ub = ones(20,1); % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
% reshape(x,4,5)'
% 0 0 0 1 甲自由泳
% 1 0 0 0 乙蝶泳
% 0 1 0 0 丙仰泳
% 0 0 1 0 丁蛙泳
% 0 0 0 0 戊不参加
3.钢管切割
%% 钢管切割问题
%% (1)枚举法找出同一个原材料上所有的切割方法
for i = 0: 2 % 2.9m长的圆钢的数量
for j = 0: 3 % 2.1m长的圆钢的数量
for k = 0:6 % 1m长的圆钢的数量
if 2.9*i+2.1*j+1*k >= 6 && 2.9*i+2.1*j+1*k <= 6.9
disp([i, j, k])
end
end
end
end
% 有同学使用比较老的MATLAB版本,会出现浮点数计算的误差
% 只需要将上面的if这一行进行适当的放缩即可。
% if 2.9*i+2.1*j+1*k >= 6-0.0000001 && 2.9*i+2.1*j+1*k <= 6.9+0.0000001
% 有兴趣的同学可以百度下:浮点数计算误差
%% (2) 线性整数规划问题的求解
c = ones(7,1); % 目标函数的系数矩阵
intcon=[1:7]; % 整数变量的位置(一共7个决策变量,均为整数变量)
A = -[1 2 0 0 0 0 1;
0 0 3 2 1 0 1;
4 1 0 2 4 6 1]; % 线性不等式约束的系数矩阵
b = -[100 100 100]'; % 线性不等式约束的常数项向量
lb = zeros(7,1); % 约束变量的范围下限
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)