以下是学习《数学模型》边看边做的记录,之后有些想法会有所更新…
模型准备
模型假设
将具体的问题抽象化,折中地减少复杂因素,抓住主要因素,本来建模就是由简到繁,所以刚开始可以假设多一点,理想化一点;也估计所找的物理公式所要求的前提条件。
格式:具体问题描述+某个变量的设定(这变量就怎么样了)
模型构成
尽量用简单的工具
模型求解
模型分析
这里设计图像,注意多角度考虑,不要总是多个曲线两个变量,因素的组合,写公式的时候可用其他符号(把常量归在一起),保持公式的简洁性。
模型检验
数据拟合
模型应用
结果以及哪里不足
第一、二章
1、交通模型 P50
流量q
速度v
密度k
1、最基本的物理模型——密度适中
q=vk
2、密度较大(这里下标以后都用k[] 表示)
v=v[1]ln(k[j]/k)
3、密度较大
v=v[f]exp(-k/k[j])
信号灯控制的十字路口的通行能力
分析事件——列出条目
1、简化模型:
初级版应该是没有红绿灯的城市干道通行能力
假设流量是常数。
2、四个方向四个相位,可以分析其中一个。
3、一个相位分为左转、右转、直走,流量假设常数。(这个不知道有没有用,先假设着)
4、绿灯时间和红灯时间。。。通过调节什么来调节高峰,而且对立面方向是相反的,那这样子把。。。书里没有提及,结合起来太过于复杂,回到最终需要,我们发现我们取两者中的最大值就可以解决了,所以依旧考虑一个相位的问题。
为什么要弄比值呢 这里需要调查哪些是变量哪些是常数
设定为绿灯与周期时间的比值G
5、往后往前面推,那就是如果G与周期内饱和度成比例,那就是最合适的调节。
这里书里感觉没有实例,之后找一道实例来对应分析优缺点。(后面再更新)
tip
1、通过常识确定变量的正反比关系,如果不拟合,那就是平方成比例。
2、查找相关资料的书籍。
3、符合客观事实,设定了我没有想到的变量。
4、关注初始值 常常是微分方程。
5、解决微分方程有时候靠人工。
6、比例常数的设定
2、平衡模型P55
1、两方,一个的数量增大,另一个的数量也增大,两者都有一个安全区域,所以当两条曲线画在一起的时候就有一个两者的安全区域,两条线的交点是双方分别拥有的最小数量,称为平衡点。
2、讨论初始特点,因为x增加y也增加,而且甲方的一枚核导弹最多只能摧毁乙方 的一个核导弹基地,所以y=f(x)不会超过执直线y=y0+x,然后就知道一个曲线的一个区域,猜想曲线,画出一条曲线符合进行粗略分析。
3、寻求y=f(x)的具体形式,然后分析出一条曲线。
4、对于可变量进行分析:若威震力y0变大,那么曲线整体上移,且变陡;若残存率s变大,那么曲线将变平。
5、模型解释:如果甲方增加经费保护及疏散工业,这就导致乙方的威震力变大。——具体措施与数学模型联系起来,通过图像曲线进行分析。
tip
建模方法:由粗到细,从定性到定量。
1、v[1]=k[1]*(f[1]-p[1])cosθ
f[1]=wsin(θ-a)sinθ
这本来是一个二元函数的极值问题,但是p[1]与a无关,所以对f[1]式子θ固定时f[1]最大,解出a,然后要求θ使得v[1]最大。
3、概率模型P62
1、评定的标准时不一样的,有很多种评定方式,角度不一样。而参考则是他的期望分数。
2、理解这个:E(s)=f*(1-f)+(p-f)^2
当预报由有雨的概率p等于理论上的有雨概率f时,他的期望分数时最小的。在这个意义上这个模型时最佳的。
3、总结:评价一个预报的优劣,最重要的时制定评价标准,没有一个统一的看法。
比较好的角度:
1、根据预报和实际观测之间的关系。
预报与预测的联合分布。
1)可靠性 越小越好,可由条件分布和边际分布计算得到。
2)决定性
3)分辨度
4)敏锐性
5)不确定性
2、利用预报所实现的效益来评估
tip
构建图形模型,直观的展现出最佳方案。
第三章、优化模型
1、存储模型 P72
1、不允许缺货的存贮模型
1)按照这道题目,自变量时离散的,对于后面的求最值也是比较难。但是题目是这么说,我们把它弄成连续的,也是可以的,如果硬是要取整数,后面在最值那里再进行调整。
2)连续化后,所有的求和问题就变成了积分问题。
3)是否通过关系式变成一个自变量的最值问题,如果不行,则
两个变量的最值则是偏导数为0,不要忘记高数的知识。
2、允许缺货的存贮模型
4)题目的后面还有一个小的知识点:
敏感性分析:如果上面的估计和预测有出入,对结果有多大的影响?
强健性分析:对于问题我们已经把他简化了,比如把一个变量变成常数,对粗略问题解决后我们要进一步深入,如果不是常数,应该怎么解决,增加模型的强健性。
2、最大利润模型
1、经济学中将导数称为边际,一条著名的定律:最大利润在边际产值等于边际成本时达到。这与数学上利润最大值求法是相对应的。
2、抓住经济学的几个重要的变量
1)生产者对产品的投入量(假设都卖出去的话,则也是商品的销售量x,与价格成反比 x=a-bp
2)单位成本c
3)产值函数=收入
4)投资费用s
3、【投资费用一定下的产值最大模型】讨论两种产品的情况——常常用图显著的表示
构建等产值曲线f(x1,x2)=v与投资费用c1x1+c2*x2=s,满足切线的时候达到最优解。
4、产值最大与费用最小的对偶关系
1)对于多个变量,学会使用向量进行构建。
tip
1、通过查找资料搜集影响因素和构建物理模型等。依次进行假设。
2、根据假设列出基本式子。
3、如果假设比较复杂,则实时进行简化。比如下面这个,因为公式很复杂,而且很多常量,所以并把它弄成正比,由比例系数表示,然后因为两者都有影响,所以α在1<=α<=2。
4、然后再真正地进行模型的构建。带入求最优解。
5、这道题能够搜集的数据很少,而且是离散的,对于建模的过程中,他根据稀少的数据构建了经验公式(通过正反比关系构建,然后参数的确定是凑出来的,但是如果带进去是接近所收集到的表格数据的,在论文的描述:用表格数据确定参数为:a=0.3)