01 差分方程
一、题目要求
在第三次作业中， 有一道差分方程求解的习题。 在给定的初始条件下， 要求求出方程的温泉街。 并对求解结果进行分析， 指出期中的自由和强迫响应， 瞬态和稳态响应等。 求系统的零输入和零状态响应。 下面让我们分析一下改作业题的求解过程。
▲ 图1.1.1 要求要求
二、求解过程
1、求解完全解
下面开始求解差分方程的完全解。 列写特征方程， 它有两个相同的根， 负 1。 写出这个带有重根的齐次解。 根据方程右边输入信号的形式， 写出它的特解形式。 将特解代入方程左边， 与输入信号形成等式。 经过化简之后， 可以求出特解的待定系数。 由此得到方程的特解。 将齐次解与特解相加， 便可以得到方程的完全解。 其中带有两个待定系数：c1,c2。
为了求解其中两个待定系数， 根据题目中给定的初始条件， 再加上差分方程所形成的迭代公式， 便可以逐步迭代出 y[0],y[1] 的数值， 根据这些数值，代入完全解中， 得到关于待定系数的方程， 求解该方程， 得到待定系数 c1,c2的取值。 这样便可以获得最终的完全解。 这是差分方程的完全解。
在完全解中， 前面两项是齐次解部分， 对应系统的自由响应。 后面一项是特解， 对应系统的强迫响应。 当 n 趋向于无穷大的时候， y[n] 的各项都存在， 所以它们对应着系统的稳态解。 系统的瞬态解， 为 0。 这是关于差分方程求解的解答。
三、零状态响应，零输入响应
对于习题的前两问， 已经给出的解答。 对于习题最后一问， 下面进行分析。
在零状态下， 系统输出起始值都等于 0。 同样可以根据差分方程，经过迭代获得 y[0],y[1]处的输出。 这是前面所得到的差分方程的完全解， 将 y[0],y[1] 代入之后，可以得到关于完全解中待定系数的方程， 经过求解，得到 c1,c2的取值。 将它们代入零状态完全解中， 便可以得到完全解的表达式了。 下面求解零输入响应。 可以利用前面的完全响应，减去零状态响应获得零输入响应。下面直接进行求解。 零输入情况下，系统的响应只包括齐次解。 由于系统没有输入信号，在这种情况下可以直接利用已知的初始状态来求解零输入响应中的待定系数。 将它们代入方程， 可以求解出 c1,c2 的取值。 代入齐次解， 便可以得到零输入响应。 最后将零状态响应和零输入响应相加， 可以证明等于前面所得到的完全解。
※ 总
本文对第三次作业差分方程求解进行了分析， 相比于微分方程来讲， 差分方程求解过程相对简单。
