例题:已知差分方程,其中r(k)=1,k≥0,x(0)=1,x(1)=2试由迭代法求其全解的前5项;
分别由古典法求其零输入解、零状态解,以及全解xzi(0)=1,x(1)=2。
零状态初始条件
取k=-2时,则,得xzs(0)=0;
取k=-1时,则,求得xzs(1)=1。
全解初始条件
x(0)= xzi(0)+ xzs(0)=1;
x(1)= xzi(1)+ xzs(1)=3。
根据求出的全解x(0)和x(1),利用迭代法求解
取k=0时,则,求得;
取k=1时,则,求得;
取k=2时,则,求得。
古典法
零输入解
令输入为零则得(a)
根据差分方程,可得它的特征方程
求得特征根为:
,
于是其齐次解为
将初始条件x(0)=1,x(1)=2
求得系数C1,C2分别为:
从而得到零输入解
零状态解
将单位阶跃激励信号分解为单位脉冲激励函数序列,则系统在单位脉冲激励作用下引起的响应的差分方程如下:
(b)
由于脉冲信号只在k=0时值为1,即。而在k为其它值时都为零,利用这一特点可以很方便的迭代求出h(0),h(1)和h(2)。
取k=-2时,则,求得h(0)=0;
取k=-1时,则,求得h(1)=1;
取k=0时,则,求得。
在此后(指k>0时),(b)式右端恒为零。可以将(b)式看成是一个以h(1)和h(2)为初始条件的齐次方程(h(0)=0),如下(c)式。
(c)
上面已求出(c)式的通解
又因为只有h(1)和h(2)才能够反映单位脉冲响应输入序列和对差分方程输出的影响,而其余时刻差分方程右侧均为零,成为“零输入”。则将边界条件h(1)=1,
解方程组求得系数C1,C2的值
将求得的系数代入齐次方程得
根据h(k)的表达式求得h(0)=-3,而实际初始条件h(0)=0,则系统响应可分段表示为
也可表示为
(d)
(d)式是原方程(1)式的零状态单位冲击响应。按照线性系统的迭加原理
全解
求其全解的前5项;
取k=1时,则;
取k=2时,则;
取k=3时,则;
取k=4时,则。
与由“迭代法”求得的结果相同。
Z变换法
对差分方程两边同时进行Z变换
由线性定理可得
由超前定理可得
将初始条件x(0)=1,x(1)=2代入得
整理后得
其中A,B,C为待定系数,采用部分分式法求解
将A,B,C代入得到
对X(z)进行Z反变换后可得差分方程的解
对比可知,由Z变化法求解差分方程是最简单的。
以上工作由2013级一年级研究生完成。