最近接触到一个抽奖需求，加上平时玩的暗黑3很少掉暗金装备，就抽空学习下这类概率问题，暂时按网络称为掉宝类型概率。
例如游戏中打败一个boss，会掉落下面其中一个物品，而每个物品都有一定概率：
1. 靴子 20%
2. 披风 25%
3. 饰品 10%
4. 双手剑 5%
5. 金币袋 40%
现在的问题就是如何根据概率掉落一个物品给玩家。
一. 一般算法：生成一个列表，分成几个区间，例如列表长度100，1-20是靴子的区间，21-45是披风的区间等，然后随机从100取出一个数，看落在哪个区间。算法时间复杂度：预处理O(MN)，随机数生成O(1)，空间复杂度O(MN)，其中N代表物品种类，M则由最低概率决定。
二、离散算法：也就是上面的改进，竟然1-20都是靴子，21-45都是披风，那抽象成小于等于20的是靴子，大于20且小于等于45是披风，就变成几个点[20,45,55,60,100]，然后也是从1到99随机取一个数R，按顺序在这些点进行比较，知道找到第一个比R大的数的下标，比一般算法减少占用空间，还可以采用二分法找出R，这样，预处理O(N)，随机数生成O(logN)，空间复杂度O(N)。
三、Alias MethodAlias Method就不太好理解，实现很巧妙，大致意思：把N种可能性拼装成一个方形（整体），分成N列，每列高度为1且最多两种可能性，可能性抽象为某种颜色，即每列最多有两种颜色，且第n列中必有第n种可能性，这里将第n种可能性称为原色。
想象抛出一个硬币，会落在其中一列，并且是落在列上的一种颜色。这样就得到两个数组：一个记录落在原色的概率是多少，记为Prob数组，另一个记录列上非原色的颜色名称，记为Alias数组，若该列只有原色则记为null。
之前的例子，为了便于演示换成分数
1. 靴子 20% -> 1/4
2. 披风 25% -> 1/5
3. 饰品 10% -> 1/10
4. 双手剑 5% -> 1/20
5. 金币袋 40% -> 2/5
然后每个都乘以5（使每列高度为1），再拼凑成方形
拼凑原则：每次都从大于等于1的方块分出一小块，与小于1的方块合成高度为1
由上图方形可得到两个数组：
Prob: [3/4, 1/4, 1/2, 1/4, 1]
Alias: [4, 4, 0, 1, null] (记录非原色的下标)
之后就根据Prob和Alias获取其中一个物品
随机产生一列C，再随机产生一个数R，通过与Prob[C]比较，R较大则返回C，反之返回Alias[C]。
Alias Method 复杂度：预处理O(NlogN)，随机数生成O(1)，空间复杂度O(2N)
PHP实现Alias Method
/**
* @desc 拼凑，获得Prob和Alias数组
* @param array $data
* @param array $prob
* @param array $alias
*/
function init( array $data , array & $prob , array & $alias ) {
$nums = count ( $data );
$small = $large = array ();
for ( $i = 0; $i < $nums ; ++ $i ) {
$data [ $i ] = $data [ $i ] * $nums ; // 扩大倍数，使每列高度可为1
/** 分到两个数组，便于组合 */
if ( $data [ $i ] < 1) {
$small [] = $i ;
} else {
$large [] = $i ;
}
}
/** 将超过1的色块与原色拼凑成1 */
while (! empty ( $small ) && ! empty ( $large )) {
$n_index = array_shift ( $small );
$a_index = array_shift ( $large );
$prob [ $n_index ] = $data [ $n_index ];
$alias [ $n_index ] = $a_index ;
// 重新调整大色块
$data [ $a_index ] = ( $data [ $a_index ] + $data [ $n_index ]) - 1;
if ( $data [ $a_index ] < 1) {
$small [] = $a_index ;
} else {
$large [] = $a_index ;
}
}
/** 剩下大色块都设为1 */
while (! empty ( $large )) {
$n_index = array_shift ( $large );
$prob [ $n_index ] = 1;
}
/** 一般是精度问题才会执行这一步 */
while (! empty ( $small )) {
$n_index = array_shift ( $small );
$prob [ $n_index ] = 1;
}
}
/**
* @desc 获取某种物品
* @param array $prob
* @param array $alias
* @return int
*/
function generation( $prob , $alias ) {
$nums = count ( $prob ) - 1;
$MAX_P = 100000; // 假设最小的几率是万分之一
$coin_toss = rand(1, $MAX_P ) / $MAX_P ; // 抛出硬币
$col = rand(0, $nums ); // 随机落在一列
$b_head = ( $coin_toss < $prob [ $col ]) ? TRUE : FALSE; // 判断是否落在原色
return $b_head ? $col : $alias [ $col ];
}
$data = array (0.25, 0.2, 0.1, 0.05, 0.4);
$prob = $alias = array ();
init( $data , $prob , $alias );
$result = generation( $prob , $alias );
验证代码
$count = array (0, 0, 0, 0, 0);
for ( $i = 0; $i < 10000; $i ++) {
$result = generation( $prob , $alias );
$count [ $result ]++;
}
echo '<pre>' ;
print_r( $count );
echo '</pre>' ;
/**
Array
(
[0] => 2463
[1] => 1982
[2] => 972
[3] => 507
[4] => 4076
)
*/
