矩阵运算库 python3 矩阵运算库eigen

C++矩阵运算库Eigen介绍

C++中的矩阵运算库常用的有Armadillo,Eigen,OpenCV,ViennaCL,PETSc等。我自己在网上搜了一下不同运算库的特点，最后选择了Eigen。主要原因是Eigen体积较小，不用安装也不用编译，库是以头文件的形式给出，直接将它扔到我们自己的工程文件中即可，移植起来也无压力。我们可以在Eigen官网下载源文件。

Eigen的HelloWorld

我这里使用的Eigen的版本为Eigen 3.3.3，源文件目录如下：

可以直接用记事本打开INSTALL文件，里面有编译和不编译时分别怎么使用。我这里使用的方法是不对文件进行编译。

1. 找个地方新建一个工程目录，这里我在桌面上新建一个MatrixTest文件夹。
2. 将Eigen目录中的Eigen文件夹拷贝到我们的MatrixTest目录中。
3. 在MatrixTest中再建立一个main.cpp文件写入如下代码：

#include <iostream>
#include "Eigen\Core"

//import most common Eigen types
using namespace Eigen;

int main(int,char*[])
{
	Matrix3f m3;
	m3<<1,2,3,4,5,6,7,8,9;
	Matrix4f m4 = Matrix4f::Identity();
	Vector4i v4(1,2,3,4);
	std::cout<<"m3\n"<<m3<<"\nm4:\n"
	<<m4<<"\nv4:\n"<<v4<<std::endl;
}

4. 在MatrixTest目录的地址栏中输入cmd，然后用g++ main.cpp对文件进行编译，再运行命令a。可以看到我们已经输出了我们的矩阵了。

Eigen常规矩阵定义

Eigen的使用在官网上有详细的介绍，这里对我学习过程中用到的基本操作进行介绍。首先是矩阵的定义。
在矩阵类的模板参数共有6个。一般情况下我们只需要关注前三个参数即可。前三个模板参数如下所示：

Matrix<typename Scalar,int RowsAtCompileTime,int ColsAtCompileTime>

1. Scalar参数为矩阵元素的类型，该参数可以是int,float,double等。
2. RowsAtCompileTime和ColsAtCompileTime是矩阵的行数和列数。

如Matrix<float,4,4> M44是定义一个4×4的矩阵，矩阵元素以float类型存储。直接使用矩阵模板定义一个矩阵往往会觉得麻烦，Eigen提供了一些基本矩阵的别名定义，如typedef Matrix<float,4,4> Matrix4f.下面是一些内置的别名定义.来源于官方手册：

typedef Matrix< std::complex<double> , 2 , 2 > Matrix2cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 2 , 2 > Matrix2cf
typedef Matrix< double , 2 , 2 > Matrix2d
typedef Matrix< float , 2 , 2 > Matrix2f
typedef Matrix< int , 2 , 2 > Matrix2i
typedef Matrix< std::complex<double> , 3 , 3 > Matrix3cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 3 , 3 > Matrix3cf
typedef Matrix< double , 3 , 3 > Matrix3d
typedef Matrix< float , 3 , 3 > Matrix3f
typedef Matrix< int , 3 , 3 > Matrix3i
typedef Matrix< std::complex<double> , 4 , 4 > Matrix4cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 4 , 4 > Matrix4cf
typedef Matrix< double , 4 , 4 > Matrix4d
typedef Matrix< float , 4 , 4 > Matrix4f
typedef Matrix< int , 4 , 4 > Matrix4i
typedef Matrix< std::complex<double> , Dynamic , Dynamic > MatrixXcd
typedef Matrix< std::complex<float> , Dynamic , Dynamic > MatrixXcf
typedef Matrix< double , Dynamic , Dynamic > MatrixXd
typedef Matrix< float , Dynamic , Dynamic > MatrixXf
typedef Matrix< int , Dynamic , Dynamic > MatrixXi
typedef Matrix< std::complex<double> , 1, 2 > RowVector2cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 1, 2 > RowVector2cf
typedef Matrix< double , 1, 2 > RowVector2d
typedef Matrix< float , 1, 2 > RowVector2f
typedef Matrix< int , 1, 2 > RowVector2i
typedef Matrix< std::complex<double> , 1, 3 > RowVector3cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 1, 3 > RowVector3cf
typedef Matrix< double , 1, 3 > RowVector3d
typedef Matrix< float , 1, 3 > RowVector3f
typedef Matrix< int , 1, 3 > RowVector3i
typedef Matrix< std::complex<double> , 1, 4 > RowVector4cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 1, 4 > RowVector4cf
typedef Matrix< double , 1, 4 > RowVector4d
typedef Matrix< float , 1, 4 > RowVector4f
typedef Matrix< int , 1, 4 > RowVector4i
typedef Matrix< std::complex<double> , 1, Dynamic > RowVectorXcd
typedef Matrix< std::complex<float> , 1, Dynamic > RowVectorXcf
typedef Matrix< double , 1, Dynamic > RowVectorXd
typedef Matrix< float , 1, Dynamic > RowVectorXf
typedef Matrix< int , 1, Dynamic > RowVectorXi
typedef Matrix< std::complex<double> , 2 , 1> Vector2cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 2 , 1> Vector2cf
typedef Matrix< double , 2 , 1> Vector2d
typedef Matrix< float , 2 , 1> Vector2f
typedef Matrix< int , 2 , 1> Vector2i
typedef Matrix< std::complex<double> , 3 , 1> Vector3cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 3 , 1> Vector3cf
typedef Matrix< double , 3 , 1> Vector3d
typedef Matrix< float , 3 , 1> Vector3f
typedef Matrix< int , 3 , 1> Vector3i
typedef Matrix< std::complex<double> , 4 , 1> Vector4cd
typedef Matrix< std::complex<float> , 4 , 1> Vector4cf
typedef Matrix< double , 4 , 1> Vector4d
typedef Matrix< float , 4 , 1> Vector4f
typedef Matrix< int , 4 , 1> Vector4i
typedef Matrix< std::complex<double> , Dynamic , 1> VectorXcd
typedef Matrix< std::complex<float> , Dynamic , 1> VectorXcf
typedef Matrix< double , Dynamic , 1> VectorXd
typedef Matrix< float , Dynamic , 1> VectorXf
typedef Matrix< int , Dynamic , 1> VectorXi

2 向量

向量被作为一种特殊的矩阵进行处理，即要么行为一要么列为一。除非显式的说明为行向量，否则这里将向量默认为列向量。请看下面两个别名定义：

typedef Matrix<float,3,1> Vector3f;
typedef Matrix<int,1,2> RowVector2i;

3 矩阵的动态空间分配

很多时候在程序的编译阶段也许我们并不知道矩阵具体的行列数，这时候使用动态控件分配就显得很必要了。当我们给矩阵模板中参数RowsAtCompileTime或者ColsAtCompileTime参数指定为Dynamic时，表示该矩阵对应行或列为一个动态分配的值。下面是两个动态矩阵的别名定义：

typedef Matrix<double,Dynamic,Dynamic> MatrixXd;
typedef Matrix<int,Dynamic,1> VectorXi;

4 矩阵的构建

经过上面的介绍以后，我们应该能定义一些基本的矩阵了。如：

Matrix3f a;   //定义一个float类型3×3固定矩阵a
MatrixXf b;   //定义一个float类型动态矩阵b(0×0)
Matrix<int,Dynamic,3> b;  //定义一个int类型动态矩阵(0×3)

对应动态矩阵，我们也可以在构造的时候给出矩阵所占用的空间，比如：

MatrixXf a(10,15);  //定义float类型10×15动态矩阵
VectorXf b(30); //定义float类型30×1动态矩阵(列向量)

为了保持一致性，我们也可以使用上面构造函数的形式定义一个固定的矩阵，即Matrix3f a(3,3)也是允许的。

上面矩阵在构造的过程中并没有初始化，Eigen还为一些小的(列)向量提供了可以初始化的构造函数。如：

Vector2d a(5.0,6.0);
Vector3d b(5.0,6.0,7.0);
Vector4d c(5.0,6.0,7.0,8.0);

5 矩阵元素的访问

Eigen提供了矩阵元素的访问形式和matlab中矩阵的访问形式非常相似，最大的不同是matlab中元素从1开始，而Eigen的矩阵中元素是从0开始访问。对于矩阵，第一个参数为行索引，第二个参数为列索引。而对于向量只需要给出一个索引即可。

#include <iostream>
#include "Eigen\Core"

//import most common Eigen types
using namespace Eigen;

int main()
{
	MatrixXd m(2,2);
	m(0,0) = 3;
	m(1,0) = 2.5;
	m(0,1) = -1;
	m(1,1) = m(1,0) + m(0,1);
	
	std::cout<<"Hear is the matrix m:\n"<<m<<std::endl;
	VectorXd v(2);
	v(0) = 4;
	v(1) = v(0) - 1;
	std::cout<<"Here is the vector v:\n"<<v<<std::endl;
}

输出结果如下：

Hear is the matrix m:
  3  -1
2.5 1.5
Here is the vector v:
4
3

像m(index)这种访问形式并不仅限于向量之中，对于矩阵也可以这样访问。这一点和matlab相同，我们知道在matlab中定义一个矩阵a(3,4)，如果我访问a(5)相当于访问a(2,2),这是因为在matlab中矩阵是按列存储的。这里比较灵活，默认矩阵元素也是按列存储的，但是我们也可以通过矩阵模板构造参数Options=RowMajor改变存储方式(这个参数是我们还没有提到的矩阵构造参数的第4个参数)。

6 一般初始化方法

对于矩阵的初始化，我们可以采用下面的方法方便且直观的进行：

Matrix3f m;
m<<1,2,3,
   4,5,6,
   7,8,9;
std:cout<<m;

7 矩阵的大小

Eigen提供了rows(),cols(),size()方法来获取矩阵的大小，同时也同了resize()方法从新改变动态数组的大小。

#include <iostream>
#include "Eigen\Core"

using namespace Eigen;

int main()
{
	MatrixXd m(2,5);
	m<<1,2,3,4,5,
	   6,7,8,9,10;
	m.resize(4,3);
	std::cout<<"The matrix m is:\n"<<m<<std::endl;
	std::cout<<"The matrix m is of size "
			 <<m.rows()<<"x"<<m.cols()<<std::endl;
	std::cout<<"It has "<<m.size()<<" coefficients"<<std::endl;
	VectorXd v(2);
	v<<1,2;
	v.resize(5);
	std::cout<<"The vector v is:\n"<<v<<std::endl;
	std::cout<<"The vector v is of size "<<v.size()<<std::endl;
	std::cout<<"As a matrix,v is of size "<<v.rows()
			 <<"x"<<v.cols()<<std::endl;
}

输出结果如下：

The matrix m is:
           1            3            5
           6            8           10
           2            4 9.58787e-315
           7            9 1.17493e-309
The matrix m is of size 4x3
It has 12 coefficients
The vector v is:
           1
           2
1.17477e-309
 7.0868e-304
           0
The vector v is of size 5
As a matrix,v is of size 5x1

可以看到我们可以把矩阵任意的resize，但是resize后矩阵的元素会改变，如果resize后的矩阵比之前的大会出现一些未初始化的元素。如果被resize的矩阵按列存储(默认)，那么resize命令和matlab中的reshape执行结果相同，只是matlab要求reshape的矩阵前后元素必须相同，也就是不允许resize后不能出现未初始化的元素。
对于固定大小的矩阵虽然也支持resize命令，但是resize后的大小只能是它本身的大小，否则就会报错。因为resize前后如果矩阵大小一样，就不会执行resize。如果我们不想在resize后改变矩阵的对应元素，那么可以使用conservativeResize()方法。对应上面程序中的m矩阵我们调用m.conservativeResize(4,3)后得到结果如下。其中因为行数增加了，增加的行会以未初始化的形式出现。

The matrix m is:
           1            2            3
           6            7            8
9.58787e-315   2.122e-314 1.52909e+249
           0            0 2.47039e+249

http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TutorialMatrixClass.html

8 赋值和大小变换

在Eigen中使用=可以直接将一个矩阵复制给另外一个矩阵，如果被复制的和赋值矩阵大小不一致，会自动对被复制矩阵执行resize函数。当然如果被复制的矩阵为固定矩阵当然就不会执行resize函数。当然也可以通过一些设置取消这个自动resize的过程。

using namespace Eigen;

int main()
{
	MatrixXf a(2,2);
	MatrixXf b(3,3);
	b<<1,2,3,
	   4,5,6,
	   7,8,9;
	a = b;
	std::cout<<a<<std::endl;
}

输出结果：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

9 固定矩阵和动态矩阵

什么时候使用固定矩阵什么时候使用动态矩阵呢？简单的说：当矩阵尺寸比较小时使用固定矩阵（一般小于16），当矩阵尺寸较大时使用动态矩阵（一般大于32）。使用固定矩阵有更好的表现，它可以避免重复的动态内存分配，固定矩阵实际上是一个array。即Matrix4f mymatrix;事实上是float mymatrix[16];。所以这个是真的不花费任何运行时间。相反动态矩阵的建立需要在
heap中分配空间。即MatrixXf mymatrix(rows,colums);实际上是float *mymatrix = new float[rows*colums];.此外动态矩阵还要保存行和列的值。
当然固定矩阵也存在着显而易见的弊端。当数组的大小过大时，固定数组的速度优势就不那么明显了，相反过大的固定数组有可能造成stack的溢出。这时候动态矩阵的灵活性就显得十分重要了。

10 其他模板参数

最开始我们已经提到了建立一个矩阵一共有6个模板参数，其中有3个我们还没有提到（其实第三个参数已经提到过了）。

Matrix<typename Scalar,
			 int RowsAtCompileTime,
			 int ColsAtCompileTime,
			 int Options=0,
			 int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,
			 int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>

1. Options:这个参数决定了矩阵在存储过程中实际是按行还是按列存储。这个存储方式在前面我们提到的矩阵变换时必须要注意。默认是按列存储，我们可以显示的使用Options=RowMajor让矩阵实际按行存储。如Matrix<float,2,3,RowMajor> a;.
2. MaxRowsAtCompileTime和MaxColsAtCompileTime:这两个值是设定动态矩阵在分配空间时最大的行数和列数。如Matrix<float,Dynamic,Dynamic,0,3,4>;.

11 常规的矩阵typedef

我们前面给出了一些常用的矩阵typedef.其实可以总结如下：

1. MatrixNt对应的是Matrix<type,N,N>.比如MatrixXi对应的是Matrix<int,Dynamic,Dynamic>.
2. VectorNt对应的是Matrix<type,N,1>.比如Vector2f对应的是Matrix<float,2,1>.
3. RowVectorNt对应的是Matrix<type,1,N>.比如RowVector3d对应的是Matrix<double,1,3>.

其中:

1. N可以是2,3,4或者X(表示Dynamic).
2. t可以是i(int),f(float),d(double),cf(complex),cd(complex).只定义了这些类型的typedef并不表示只支持这些数据类型的运算。比如所有的整形类型的运算都支持（长的，短的，有符号的，无符号的）。