摘要：
学习用动态规划解决最长公共子序列、最长公共子串和最长递增子序列的问题。
正文：
（主要是《算法图解》（第9章）的python实践）
1、最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）
在前一篇《python(二)》中，学习了如何用动态规划的思想解决数组分堆的问题，接下来查阅了《算法图解》，在第9章“动态规划”了解了更多的动态规划的知识。其中有个问题还比较有意思，叫做“最长公共子序列”。
计算两个list之间的公共子序列，指的是求解两个list的元素中“有顺序的共同部分”，如：list_a = [1, 4, 5, 3, 7]；list_b = [3, 1, 5, 7, 9]。首先，如果只讨论公共部分，那么就是它们的交集，即[1, 3, 5, 7]。但是元素‘3’的顺序在两个list中是不一致的，按list_a中的顺序的交集可以写为[1, 5, 3, 7]，而按list_b中的顺序的交集可以写为[3, 1, 5, 7]，显然，所谓“有顺序的共同部分”就是[1, 5, 7]了，它在list_a和list_b中的顺序是一致的。这个[1, 5, 7]便是一个公共子序列，而两个list之间可以有很多公共子序列，其中元素最多的（最长）便是“最长公共子序列”了，这个解可以不止一个。
我们将list_a的每个元素视为一行，list_b的每个元素视为一列，构成一个矩阵，矩阵的每一个值value[i, j]表示的是list_a从0看到i元素、list_b从0看到j元素为止的最大长度。而所求的最大长度即为整个矩阵的最大值，显然，仍然用动态规划的思路求解，其步骤和《python(二)》基本相似。
（1.1）value的递推公式：
value[i, j] = value[i-1, j-1] + 1, 如果list_a[i]==list_b[j]
value[i, j] = max(value[i, j-1], value[i-1, j]), 如果list_a[i]!=list_b[j]
（**理解**）仍然是假设前面问题都已经解决了(不同的i/j)，如果list_a第i个元素等于list_b第j个元素，那么显然最大长度就是value[i-1, j-1]+1(i和j同时多考虑了1个)；如果list_a第i个元素不等于list_b第j个元素，那就保持之前的最大值状态（注意这里是“保持”，意味着并不要求公共部分是连续的——要求连续是最长公共子串问题），而所谓之前，就是[i, j-1]和[i-1, j]（只少看一个元素），因此保持之前最大值就是求这两个节点的最大值。总而言之，value[i, j]的取值只来源于它左、上方相邻的三个节点。
（1.2）边界条件：
考虑list_a的第0个元素时，value[0, :] = 0；
考虑list_b的第0个元素时，value[:, 0] = 0
（1.3）is_take的递推公式：
同《python(二)》，用取数编码（is_take矩阵）来取数，递推公式（思路上和value的递推是一致的）：
is_take[i, j] = 2^(num-i) + is_take[i-1, j-1], 如果list_a[i]==list_b[j]
is_take[i, j] = is_take[i-1, j], 如果list_a[i]!=list_b[j]且value[i-1, j]>value[i, j-1]
is_take[i, j] = is_take[i, j-1], 如果list_a[i]!=list_b[j]且value[i, j-1]>value[i-1, j]
（1.4）python代码实现
链接如下，代码还包含了后面两个问题的内容：
longest_common_subsequence.pygithub.com
函数LCS(list_a, list_b)的输入可以是字符串、list和np.array，如下是两个测试结果：
test1：
'fish'和'fosh'的LCS是['f', 's', 'h']，str输入时，没有被选出来的元素设为空值（输出是一个np.array）
test2：
list_a和list_b的LCS是[1, 5, 7]，list输入时，没有被选出来的元素设为nan（输出是一个np.array）
2、最长公共子串
最长公共子串只是在最长公共子序列的基础上，增加了一个“连续性”的要求，也就是说，公共部分不仅要保持在两个原序列中的顺序，还必须是连续出现的。很显然，前述的test1的解就只能变为['s', 'h']了，而test2甚至只有单元素解（交集元素）。
仍然可以用动态规划的思路求解，只需要稍微修改一下LCS的递推公式：
（2.1）value的递推公式：
value[i, j] = value[i-1, j-1] + 1, 如果list_a[i]==list_b[j]
value[i, j] = 0, 如果list_a[i]!=list_b[j]
（**理解**）仍然是假设前面问题都已经解决了(不同的i/j)，如果list_a第i个元素等于list_b第j个元素，那么显然最大长度就是value[i-1, j-1]+1，如果list_a第i个元素不等于list_b第j个元素，由于有“连续”条件约束，因此此时value[i, j]为0（意味着重新开始看最大长度）。
（2.2）is_take的递推公式：
is_take[i, j] = 2^(num-i) + is_take[i-1, j-1], 如果list_a[i]==list_b[j]
is_take[i, j] = 0, 如果list_a[i]!=list_b[j]
（2.3）python代码实现：
代码见前述链接。test：
'HISH'和'VISTA'的最大公共子串，是中间的['I', 'S']
3、最长递增子序列
问题描述：求一个序列的最长递增子序列（Longest Increased Subsequence，LIS）之前，先看递增子序列的定义：设输入序列为包含了n个元素的序列list_input=[a1, a2, …, an]，它的递增子序列是这样一个子序列IS = [a[k1], a[k2], …, a[km]]，其中k1 <k2 <… <km且a[K1] <a[k2] <… <a[km]，而最大递增子序列就是这些IS中元素最多（最长）的那个。
乍一看似乎和问题1、2没有太多关系，但实际上可以将问题巧妙地转换一下，首先得到输入序列list_input的从小到大排好顺序的序列list_input_sorted，然后去计算list_input和list_input_sorted的最长公共子序列，这样结果就是LIS了。
test：
输入的list_input，最长递增子序列的长度是5
（**LCS函数的一个bug）
在进行LIS的测试中，发行了LCS函数的一个bug，前面的test的结果是正确的，但是下面这个test的结果是不完整的。对于这个list_input而言，[4, 10, 46]也是一个LIS的解，但是并没有被程序查找出来：
这个问题出在了is_take矩阵上，当list_a[i]!=list_b[j]且value[i-1, j]==value[i, j-1]时，如果此时is_take[i-1, j]!=is_take[i, j-1]，表明is_take[i, j]应该要同时选取这两个值，但是由于这个节点的is_take取值只能是一个，所以总是会舍弃掉一个解。这个情况简单说来，就是list_input里的两个相邻的数在list_input_sorted中也相邻，并且它们在自身节点上都被选择了。暂时还没有想到简单的解决方案……
4、动态规划小结
《算法图解》最后总结了一下动态规划应用的注意点，这里摘抄一下：
（a）需要在给定约束条件下优化某种指标时，动态规划很有用；
（b）问题可分解为独立的离散子问题时，可使用动态规划来解决；
（c）每种动态规划解决方案都涉及网格；
（或者说是矩阵，其行、列都会有对应的实际意义）
（d）单元格中的值通常就是你要优化的值；
（e）每个单元格都是一个子问题，因此你需要考虑如何将问题分解为子问题；
（f）没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式。
再加一点自己的学习感想，在已知了一些算法后，如何将问题“转化”为已知算法，是一个要努力学习的技巧。
