序
没有对比就没有伤害,本文先给出很多时候直接采用的矩形法,然后与四阶龙格库塔法做比较,着重说明四阶龙格库塔法。
一、矩形法
1.1 原理
设微分方程
求。
使用数值方法,离散化得每一步的增量
易得
实际上,这就是矩形法计算积分。当 时,可以得出很高精度的,但实际工程中未必能够取很小的。
1.2 例子
以
为例,时间取1~10s,分别取 ,查看不同精度下的运算结果。式(1.4)可求出解析解为,用于比较求解精度。
%% 不同步长下的矩形法比较
dt1 = 0.1; % 步长1
dt2 = 1.0; % 步长2
t1 = 0:dt1:10; % 时间1
t2 = 0:dt2:10; % 时间2
y1 = ode_rect(t1, 0); % 精度1下计算结果
y2 = ode_rect(t2, 0); % 精度2下计算结果
plot(t1,log(t1+1),t1,y1,t2,y2);
legend('理论值', 'dt=0.1', 'dt=1');
grid on;grid minor;xlabel 't';ylabel 'y'
%% 导数方程
function dy=f(y)
dy = exp(-y);
end
%% 矩形法
function y = ode_rect(t, y0)
N = length(t);
y = zeros(N,1);
y(1) = y0;
for n = 1:N - 1
dt = t(n+1) - t(n); % 计算步长 dt
y(n+1) = y(n) + f(y(n)) * dt; % 累加计算 y
end
end
可见,当步长为0.1时,矩形法的精度较高,但步长为1时,矩形法误差大。
二、龙格库塔法
2.1
经过多年潜心研究,龙格库塔站在前人的肩膀上,发现了一种高精度的方法。那就是把式(1.3)的计算改为
此处,采用习惯上的符号,上面的例子中,。
依旧对于式(1.4),步长取1,分别使用矩形法和四阶龙格库塔法求解,结果如下
%% 矩形法与龙格库塔法比较
dt = 1.0;
t = 0:dt:10;
y1 = ode_rect(t, 0); % 矩形法计算
y2 = ode_rk(t, 0); % 龙格库塔法计算
plot(0:0.01:10,log([0:0.01:10]+1),t,y1,t,y2);
legend('理论值', '矩形法', '龙格库塔法');
grid on;grid minor;xlabel 't';ylabel 'y'
%% 导数方程
function dy=f(y)
dy = exp(-y);
end
%% 矩形法
function y = ode_rect(t, y0)
N = length(t);
y = zeros(N,1);
y(1) = y0;
for n = 1:N - 1
dt = t(n+1) - t(n); % 计算步长 dt
y(n+1) = y(n) + f(y(n)) * dt; % 累加计算 y
end
end
%% 四阶龙格库塔法
function y = ode_rk(t, y0)
N = length(t);
y = zeros(N,1);
y(1) = y0;
for n = 1:N-1
h = t(n+1) - t(n); % 步长(即时间间隔)
k1 = f(y(n)); % k1
k2 = f(y(n) + h/2*k1); % k2
k3 = f(y(n) + h/2*k2); % k3
k4 = f(y(n) + h*k3); % k4
y(n+1) = y(n) + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4); % 累加计算y
end
end
可见,四阶龙格库塔法很好地接近真实值。
2.2
设
从理论计算微分方程的角度,式(1.1) 和式(2.2)有着截然不同的求解方式。但是使用数值方法,只不过是把 变为。四阶龙格库塔法求解式(2.2)的方法如下
一个简单的例子是
其解析解为。设步长分别为1,0.1,使用四阶龙格库塔法发求解如下
%% 龙格库塔法步长差异比较
dt1 = 1; % 步长为1
dt2 = 0.1; % 步长为0.1
T = 10; % 总时间10s
t1 = 0:dt1:T; % 时间t1
y1 = ode_rk(t1, 0); % 解y1
t2 = 0:dt2:T; % 时间t2
y2 = ode_rk(t2, 0); % 解y2
figure(1)
plot(0:0.01:T, 1-cos(0:0.01:T));hold on % 解析解计算值
plot(t1,y1, '-o', t2,y2, '--');hold off % 数值解计算值
legend('理论值','dt=1', 'dt=0.1');title('龙格库塔法');
grid on;grid minor;xlabel 't';ylabel 'y'
%% 导数方程
function dy=f(t)
dy = sin(t);
end
%% 四阶龙格库塔法
function y = ode_rk(t, y0)
N = length(t);
y = zeros(N,1);
y(1) = y0;
for n = 1:N-1
h = t(n+1) - t(n); % 步长(即时间间隔)
k1 = f(t(n)); % k1
k2 = f(t(n) + h/2); % k2
k3 = f(t(n) + h/2); % k3
k4 = f(t(n) + h); % k4
y(n+1) = y(n) + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4); % 累加计算y
end
end
从例子中可见,步长为1时,龙格库塔法依旧得到精确的结果。
2.3
设
求解。不过是多了一个变量,使用四阶龙格库塔法计算方法为
更多变量,以此类推,不再赘述。