龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的最重要的方法之一。MATLAB中提供了几个采用龙格-库塔法来求解常微分方程的函数，即ode23，ode45，ode113 ，ode23s ，ode15s等，其中最常用的函数是 ode23( 二三阶龙格-库塔函数)和ode45( 四五阶龙格-库塔函数)，下面分别对它们进行介绍。 1 ．二三阶龙格- 库塔函数(ode23) 函数 ode23 的调用格式如下： (1) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0) 输入参数中的'F' 是一个字符串，表示微分方程的形式，也可以是 f (x , y )的M 文件。TSPAN=[T0 TFINAL]表示积分区间，Y0表示初始条件。函数 ode23 表示在初始条件 Y0下从 T0到TFINAL 对微分方程 '(,) yFty = 进行积分。函数F(T, Y) 必须返回一列向量，两个输出参数是列向量 T 与矩阵 Y，其中向量 T 包含估计响应的积分点，而矩阵 Y 的行数与向量 T 的长度相等。向量 T 中的积分点不是等间距的，这是为了保持所需的相对精度，而改变了积分算法的步长。为了获得在确定点T0,T1, "的解，TSPAN=[T0 T1 TFINAL] 。需要注意的是：TSPAN中的点必须是单调递增或单调递减的。 (2) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS) 其中，参数 options 为积分参数，它可由函数ODESET 来设置。Options参数最常用的是相对误差‘RelTol’( 默认值是 1e-3)和绝对误差‘AbsTol’(默认值是 1e-6)，其他参数同上。 (3) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2,…) 参数P1,P2, …可直接输入到函数F 中去．如 F(T,Y,FLAG,P1,P2,…)。如果参数 OPTIONS为空，则输入 OPTIONS=[ ]。也可以在 ODE文件中(可参阅 ODEFILE函数)指明参数 TSPAN、Y0和OPTIONS的值。如果参数TSPAN 或Y0 是空，则ODE23函数通过调用ODE文件[TSPAN, Y0, OPTIONS] = F([ ],[ ], 'init ')来获得 ODE23函数没有被提供的自变量值。如果获得的自变量表示空，则函数ODE23会忽略，此时为 ODE23('F')。 (4) [T,Y,TE,YE,IE]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS) 此时要求在参数 options 中的事件属性设为'on' ，ODE文件必须被标记，以便 P(T,Y,'events') 能返回合适的信息，详细可参阅函数 ODEFILE。输出参数中的 TE是一个列向量，矩阵 YE的行与列向量 TE中元素相对应，向量 IE 表示解的索引。 2 ．四五阶龙格- 库塔函数(ode45) 函数 ode45 的调用格式同 ode23 相同，其差别在于内部算法不同。如果'F' 为向量函数，则ode23 和ode45 也可用来解微分方程组。 【例3.47 】 分别用二三阶龙格-库塔法和四五阶龙格-库塔法解常微分方程的初值问题： 解：先将微分方程写成自定义函数 exam2fun.m
function f=exam2fun (x,y)
f=-y-x*y.^2;
f=f(:);
然后在命令窗口输入以下语句：
>> [x1,y1]=ode23('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x1 =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y1 =
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6314
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
0.2910
>> [x2,y2]=ode45('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x2 =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y2 =
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6315
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
0.2910
