最近想复习一下现代控制理论,在B站看到了DR_CAN大神做的视频,但对其中涉及的拉塞尔不变性定理理解地不太好,特地查了一下,写下来与君分享。
1、介绍
拉塞尔不变性定理是对Lyapunov直接法(Lyapunov第二法)的补充,它能在系统的半负定时也得到一个平衡点是渐近稳定的。但是需要注意,这个定理只能用于自治系统。自治系统指的是,系统的微分方程不显含时间的系统。如果想看严格的定理描述,大家可以去这个链接看,我会结合维基百科上的描述来解释。
2、较(bu)好(tai)理(yan)解(ge)的理论描述
对于系统:
满足。
首先我们要明白,一个系统的状态的有无数条轨迹,从不同的初始时刻开始,状态会沿不同的轨迹线运行。用表示一条解的轨迹,它从时刻的开始,到时刻的,上的点称为包含于轨迹的聚点。
假设集合,它表示所有满足的聚点的集合。表示一条轨迹,它上面的聚点包含于,所有的集合为。这段话仔细看一下,比较绕。
如果可以找到一个标量函数,,且对所有非零满足:
即正定,半负定。
并且,如果除了这条轨迹(其实就是从初始状态开始,状态一直没变,也就是(在这段时间内),没有其他轨迹包含于中,那么这个状态点是渐近稳定的。
理解这个定理的关键是,理解轨迹和状态点这两个概念的区别,前者是一条状态走过的线,对于两状态的系统,其实就是相图;而后者只是单纯的一个点。
例子:带摩擦的单摆系统
图中小球的质量为,摆线长,与垂直方向的夹角为,摩擦系数为,摩擦力为。
对于这样一个单摆系统,它的运动学方程为
令,,(1)式可以写成
我们用这个系统的总能量来表示Lyapunov函数,总能量=动能+势能,即
求导,化简,得
显然,,而是半负定的,由Lyapunov直接法不能得到是渐进稳定的。
但是,此时
即,要让一条轨迹包含于,那这条轨迹的必须一直为零,则,同时这条轨迹也满足(3)式,那么也必须一直成立,所以除了,A中不包含其他任何轨迹,所以是渐近稳定点。