导语：求曲线就是求曲线上的点
一、简单了解一下Bezier曲线的概念（个人理解）
给定空间中n+1个点坐标（向量）Pi （i∈N）；并依次连接成一个多边形，称为控制多边形或特征方程。从该多边形的起点（P0）用一条线逼近每一条线段直到多边形的终点（P4）所形成的一条曲线，称该曲线为Bezier曲线。如1-1图所示：
图 1 - 1 一个4阶Bezier曲线
当n=1时，为一阶Bezier曲线，有2个控制点
当n=2时，为二阶Bezier曲线，有3个控制
当n=3时，为三阶Bezier曲线，有4个控制点（以此类推）
二、用De CastelJau方法做几何图形（Bezier曲线的递推算法）
简述：假设控制多边形上的每一条线段上都有一个点 t ,（这个点可以从线段的起点移动到终点即 t 的值从0递增到1) 再将每条线段上的点 t 依次连接，形成新的控制多边形，一直循环，直到控制多边形为一条直线，则该直线上的 点 t 为Bezier曲线上的其中一个点。
用图形解释：
假设 t = 1/4 t∈[0,1] 即点 t 再每一条线段上的 1/4 处
图 2- 1 给出定点
图 2-2 t 为 Q0 ,Q1, Q2, Q3
图 2-3 t 为 R0, R1 ,R2
图 2-4 t 为 S0 ，S1
分析与结论：
由此可知，当 t 值为固定值时，可以求出Bezier曲线上的一个点，则曲线可以用P(t)表示，此时 t 为变量，t∈[0,1] 。 P(t) 随着 t 的值变化而变化，从而得出很多的点，将这些点连接后就成为曲线。
由于用公式推导求出P(t)过于复杂，本人就简单分析如何求出 t 点坐标 的通项公式，因为在Unity中知道该通项公式就足够了。
已知一条线段的起点，终点坐标，然后用向量的减法即可轻易求出，如图所示
（1 - t ）* P0 + t *P1
其中P0为线段起点坐标，P1为线段终点坐标。
求其他线段点 t 坐标 也是用这个公式，这里就不证明了，通过这个公式，用代码中的循环语句求出每条线段上的 t 点 ，都放入一个集合中，通过这些点又形成了一个新的控制多边形，反复的求（递归），直到求出Bezier曲线上的点坐标。之后用循环再控制 t 的增量，求出P(t）。
注意：Bezier曲线的形状仅与控制多边形个顶点的相对位置有关，而与坐标系的选择无关。
三、用Unity实现
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
/// <summary>
/// Bezier曲线
/// </summary>
public class BezierDeCastelJau : MonoBehaviour
{
private LineRenderer lineRenderer; //线渲染器
public Transform fxiedPointParent; //定点所在的父物体
public Transform[] fixedPoint; //定点坐标集合
private List<Vector3> bezierPoints; //贝塞尔曲线上所有点的集合
void Start()
{
fxiedPointParent = this.transform;
lineRenderer = this.GetComponent<LineRenderer>();
fixedPoint = fxiedPointParent.GetComponentsInChildren<Transform>();
bezierPoints = new List<Vector3>();
}
void Update()
{
bezierPoints = BezierPosAll(fixedPoint);
lineRenderer.positionCount = bezierPoints.Count;
lineRenderer.SetPositions(bezierPoints.ToArray());
}
/// <summary>
/// 获取Bezier曲线上的一个点的坐标
/// </summary>
/// <param name="fixedPoint">定点集合</param>
/// <param name="t">定值</param>
/// <returns></returns>
private Vector3 BezierPos(List<Vector3> fixedPoint, float t)
{
if (fixedPoint.Count < 2)
return fixedPoint[0];
List<Vector3> temp = new List<Vector3>();
for (int i = 0; i < fixedPoint.Count - 1; i++)
{
Debug.DrawLine(fixedPoint[i], fixedPoint[i + 1], Color.yellow);
Vector3 tp = (1 - t) * fixedPoint[i] + t * fixedPoint[i + 1];
temp.Add(tp);
}
return BezierPos(temp, t);
}
/// <summary>
/// 获取Bezier曲线上所有点的坐标
/// </summary>
/// <param name="fixedPoint">定点坐标集合</param>
/// <returns></returns>
private List<Vector3> BezierPosAll(Transform[] fixedPoint)
{
List<Vector3> temp = new List<Vector3>();
List<Vector3> temp2 = new List<Vector3>();
for (int i = 1; i < fixedPoint.Length; i++)
{
temp2.Add(fixedPoint[i].position);
}
for (float i = 0; i <= 1; i += 0.01f)//假设 t 的增量为0.01
{
temp.Add(BezierPos(temp2, i));
}
return temp;
}效果图为：
结语：
整篇文章内容仅为个人理解
Bezier曲线有两点不足：
1.不能局部修改，曲线上一个定点改变，整条曲线也会改变
2.多条Bezier曲线的拼接比较复杂
解决方法：使用B样条线
