一、决策树之ID3算法简述
1976年-1986年,J.R.Quinlan给出ID3算法原型并进行了总结,确定了决策树学习的理论。这可以看做是决策树算法的起点。1993,Quinlan将ID3算法改进成C4.5算法,称为机器学习的十大算法之一。ID3算法的另一个分支是CART(Classification adn Regression Tree, 分类回归决策树),用于预测。这样,决策树理论完全覆盖了机器学习中的分类和回归两个领域。
本文只做了ID3算法的回顾,所选数据的字段全部是有序多分类的分类变量。C4.5和CART有时间另花篇幅进行学习总结。本文需要有一定的pandas基础、了解递归函数。
1、ID3算法研究的核心思想是if-then,本质上是对数据进行分组操作。
下表是包含用户信息和购买决策的表。这张表已经对1024个样本进行了分组统计。依此为例解释if-then(决策)和数据分组。
对于第0条和第7条数据,唯一的区别是income不同,于是可以认为,此时income不具有参考价值,而应考察student值或reputation的信息。于是:if-then定义了一套规则,用于确定各个分类字段包含的信息计算方法,以及确定优先按照哪个字段进行分类决策。
假如根据if-then,确定优先按照age对数据集进行拆分,那么可以确定三个水平(青年、中年、老年)对应的子数据集。然后,继续对着三个子数据集分别再按照剩余的字段进行拆分。如此循环直到除了购买决策之外的所有字段都被遍历。你会发现,对于每个拆分的子数据集,根本不需要关注里面的值是汉字、字符串或数字,只需要关注有几个类别即可。
根据if-then的分类结果,对于一个样本,可以根据其各个字段的值和if-then规则来确定它最终属于下表哪个组。
决策树强调分组字段具有顺序性,认为字段层级关系是层层递进的;而我们直接看这张表时,所有字段都是并排展开的,存在于同一层级。这或许是最大的区别。
当然,你也可以拿一个样本,对照此表,找到它属于的那个组,以及对应的purchase。如果purchase有不同值,根据count计算其概率即可。
| count | age | income | student | reputation | purchase |
0 | 64 | 青年 | 高 | 否 | 良 | 不买 |
1 | 64 | 青年 | 高 | 否 | 优 | 不买 |
2 | 128 | 中年 | 高 | 否 | 良 | 买 |
3 | 60 | 老年 | 中 | 否 | 良 | 买 |
4 | 64 | 老年 | 低 | 是 | 良 | 买 |
5 | 64 | 老年 | 低 | 是 | 优 | 不买 |
6 | 64 | 中年 | 低 | 是 | 优 | 买 |
7 | 128 | 青年 | 中 | 否 | 良 | 不买 |
8 | 64 | 青年 | 低 | 是 | 良 | 买 |
9 | 132 | 老年 | 中 | 是 | 良 | 买 |
10 | 64 | 青年 | 中 | 是 | 优 | 买 |
11 | 32 | 中年 | 中 | 否 | 优 | 买 |
12 | 32 | 中年 | 高 | 是 | 良 | 买 |
13 | 64 | 老年 | 中 | 否 | 优 | 不买 |
2、确定决策规则的两个核心公式:经验熵、条件熵和信息增益
1948年,美国信息学家香农(Shannon)定义了信息熵:
$$I(U) = log(\frac{1}{p}) = -log(p)$$
I被称为不确定性函数,代表事件的信息量。log表示取对数。假定对于一个信源,其发生各种事件是相互独立的,并且其值具有可加性。因此使用log函数。可见,发生的概率越大,其不确定性越低。
考虑到信源的所有可能发生的事件,假设其概率为$p_1, p_2,..., p_i$,则可以计算其平均值(数学期望),该值被称为信息熵或者经验熵。涵义即为:一个信源的平均不确定性,或者一个信源的不确定性期望。用公式表示为:
$$H(D) = E[-log p_i] = -\sum_{i=1}^{n}p_{i}* $$
举个例子。计算purchase的信息熵(经验熵):
init_dic = {
"count": [64,64,128,60,64,64,64,128,64,132,64,32,32,64],
"age": ["青年","青年","中年","老年","老年","老年","中年","青年","青年","老年","青年","中年","中年","老年"],
"income": ["高","高","高","中","低","低","低","中","低","中","中","中","高","中"],
"student": ["否","否","否","否","是","是","是","否","是","是","是","否","是","否"],
"reputation": ["良","优","良","良","良","优","优","良","良","良","优","优","良","优"],
"purchase": ["不买","不买","买","买","买","不买","买","不买","买","买","买","买","买","不买"]
}
data = pd.DataFrame(init_dic, columns=["count", "age", "income", "student", "reputation", "purchase"])
# 计算买和不买的样本数据
purchase_yes _count= data[data["purchase"] == "买"]["count"].sum()
purchase_no_count = data[data["purchase"] == "不买"]["count"].sum()
# 计算各自的概率
purchase_yes_p = purchase_yes_count / (purchase_yes_count + purchase_no_count)
purchase_no_p = 1 - purchase_yes_p
print(purchase_yes_p, purchase_no_p)
# 计算此时的信息熵
I_purchase = -purchase_yes_p*np.log2(purchase_yes_p) -purchase_no_p*np.log2(purchase_no_p)
print(I_purchase)
# 0.625 0.375
# 0.954434002924965
在X发生的情况下,Y的熵称为条件熵H(Y|X)。显然地,有公式:
$$H(Y|X) = H(X,Y) - H(X) = \sum_{i} p(i) H(Y|X = x)$$
上述公式表示:(X,Y)发生所包含的熵(它是个并集),减去X的熵,即为Y发生“新”增的熵。条件熵的公式推导略。
信息增益:表示得知特征A的信息而使得D集合的信息不确定性减少的程度。它为集合D的经验熵减去特征A的条件熵。公式表示为:
$$g(D, A) = H(D) - H(D|A)$$
联合上面这两个式子:
$$g(D, A) = H(D) - H(D|A) = H(D) - (H(D,A) - H(A)) = H(D) + H(A) - H(D,A)$$
它显示是典型的计算两个集合的交集公式,这可以表示D和A之间的互信息。这行公式的理解至关重要。
决策树优先从信息增益大的特征列开始划分数据集。这样要更“靠谱”,因为信息增益(互信息)最大,对集合D(实际上也就是决策标签)影响力更大。
计算age字段的(经验)条件熵以及它的信息增益。
def shannon(data, column="age"):
# 找到这个字段的唯一值
levels = data[column].drop_duplicates().tolist() # ['青年', '中年', '老年']
# 计算该字段的所有数据集,显然是整个数据集
samples = data["count"].sum()
# 依次计算信息熵
entropy = 0
for level in levels:
# 获取该水平的子数据集,计算买与不买的信息熵
subdata = data[data[column] == level]
purchase_yes = subdata[subdata["purchase"] == "买"]["count"].sum()
purchase_no = subdata[subdata["purchase"] == "不买"]["count"].sum()
purchase_yes_p = purchase_yes / (purchase_yes + purchase_no)
purchase_no_p = 1 - purchase_yes_p
# 计算该水平上的信息熵
if purchase_yes == 0 or purchase_no == 0: # 这里要处理子数据集为空的情况;这里暂未处理
pass
I_purchase = -purchase_yes_p*np.log2(purchase_yes_p) -purchase_no_p*np.log2(purchase_no_p)
# 计算该水平上的概率值
level_p = subdata["count"].sum() / samples
# 计算信息增益
if I_purchase > 0:
entropy += level_p * I_purchase
# print(level, level_p, I_purchase, purchase_yes, purchase_no, entropy)
return entropy
entropy_age = shannon(data, "age")
gain_age = I_purchase - entropy_age # 计算这个字段的信息增益
print(gain_age)
# 0.2657121273840979
# 有报错0除,没做处理。本例只演示如何计算叶节点信息熵。
3、决策树流程
决策树的流程为:
(1)输入需要分类的数据集和类别标签和靶标签。
(2)检验数据集是否只有一列,或者是否最后一列(靶标签数据默认放到最后一列)只有一个水平(唯一值)。
是:返回唯一值水平或者占比最大的那个水平
(3)调用信息增益公式,计算所有节点的信息增益,得到最大信息增益所对应的类别标签。
(4)建立决策树字典用以保存当次叶节点数据信息。
(5)进入循环:
按照该类别标签的不同水平,依次计算子数据集;
对子数据集重复(1),(2),(3),(4),(5), (6)步。
(6)返回决策树字典。
决策树实际上是一个大的递归函数,其结果是一个多层次的字典。
二、python3实现ID3算法
1、python3实现ID3决策树
数据文件下载地址:https://files.cnblogs.com/files/kuaizifeng/ID3data.txt.zip。
信息熵和信息增益其实可以提炼出来,作为单独的计算方法。方便替换其它的计算方式,如信息增益率,基尼不纯度等。
LoadDataSet用来载入数据,TreeHandler用来持久化数据。
ID3Tree中,
_best_split用来遍历标签并计算最大信息增益对应的标签;
_entropy就是计算熵;
_split_dataSet用于切割数据集;
_top_amount_level是递归终止条件触发时的返回值。即只有一个特征列的一个水平的子集时,如果对应的purchase还有买和不买(level),就返回最大占比的level;
mktree主程序,递归生成决策树,并将其保存在tree字典中;
predict主程序,用于预测分类;
_unit_test,单元测试程序,用于测试上面一些函数。
import numpy as np
import pandas as pd
import json
class LoadDataSet(object):
def load_dataSet(self):
"""数据文件下载地址:https://files.cnblogs.com/files/kuaizifeng/ID3data.txt.zip"""
data = pd.read_csv("ID3data.txt", sep="\t", header=None)
data.rename(columns={0: "age", 1: "income", 2: "student", 3: "reputation", 4: "purchase"}, inplace=True)
return data
class TreeHandler(object):
def __init__(self):
self.tree = None
def save(self, tree):
self.tree = tree
with open("tree.txt", mode="w", encoding="utf-8") as f:
tree = json.dumps(tree, indent=" ", ensure_ascii=False)
f.write(tree)
def load(self, file):
with open(file, mode="r", encoding="utf-8") as f:
tree = f.read()
self.tree = json.loads(tree)
return self.tree
class ID3Tree(LoadDataSet, TreeHandler):
"""主要的数据结构是pandas对象"""
__count = 0
def __init__(self):
super().__init__()
"""认定最后一列是标签列"""
self.dataSet = self.load_dataSet()
self.gain = {}
def _entropy(self, dataSet):
"""计算给定数据集的熵"""
labels= list(dataSet.columns)
level_count = dataSet[labels[-1]].value_counts().to_dict() # 统计分类标签不同水平的值
entropy = 0.0
for key, value in level_count.items():
prob = float(value) / dataSet.shape[0]
entropy += -prob * np.log2(prob)
return entropy
def _split_dataSet(self, dataSet, column, level):
"""根据给定的column和其level来获取子数据集"""
subdata = dataSet[dataSet[column] == level]
del subdata[column] # 删除这个划分字段列
return subdata.reset_index(drop=True) # 重建索引
def _best_split(self, dataSet):
"""计算每个分类标签的信息增益"""
best_info_gain = 0.0 # 求最大信息增益
best_label = None # 求最大信息增益对应的标签(字段)
labels = list(dataSet.columns)[: -1] # 不包括最后一个靶标签
init_entropy = self._entropy(dataSet) # 先求靶标签的香农熵
for _, label in enumerate(labels):
# 根据该label(也即column字段)的唯一值(levels)来切割成不同子数据集,并求它们的香农熵
levels = dataSet[label].unique().tolist() # 获取该分类标签的不同level
label_entropy = 0.0 # 用于累加各水平的信息熵;分类标签的信息熵等于该分类标签的各水平信息熵与其概率积的和。
for level in levels: # 循环计算不同水平的信息熵
level_data = dataSet[dataSet[label] == level] # 获取该水平的数据集
prob = level_data.shape[0] / dataSet.shape[0] # 计算该水平的数据集在总数据集的占比
# 计算香农熵,并更新到label_entropy中
label_entropy += prob * self._entropy(level_data) # _entropy用于计算香农熵
# 计算信息增益
info_gain = init_entropy - label_entropy # 代码至此,已经能够循环计算每个分类标签的信息增益
# 用best_info_gain来取info_gain的最大值,并获取对应的分类标签
if info_gain > best_info_gain:
best_info_gain = info_gain
best_label = label
# 这里保存一下每一次计算的信息增益,便于查看和检查错误
self.gain.setdefault(self.__count, {}) # 建立本次函数调用时的字段,设其value为字典
self.gain[self.__count][label] = info_gain # 把本次函数调用时计算的各个标签数据存到字典里
self.__count += 1
return best_label
def _top_amount_level(self, target_list):
class_count = target_list.value_counts().to_dict() # 计算靶标签的不同水平的样本量,并转化为字典
# 字典的items方法可以将键值对转成[(), (), ...],可以使用列表方法
sorted_class_count = sorted(class_count.items(), key=lambda x:x[1], reverse=True)
return sorted_class_count[0][0]
def mktree(self, dataSet):
"""创建决策树"""
target_list = dataSet.iloc[:, -1] # target_list 靶标签的那一列数据
# 程序终止条件一: 靶标签(数据集的最后一列因变量)在该数据集上只有一个水平,返回该水平
if target_list.unique().shape[0] <= 1:
return target_list[0] # !!!
# 程序终止条件二: 数据集只剩下把标签这一列数据;返回数量最多的水平
if dataSet.shape[1] == 1:
return self._top_amount_level(target_list)
# 不满足终止条件时,做如下递归处理
# 1.选择最佳分类标签
best_label = self._best_split(dataSet)
# 2.递归计算最佳分类标签的不同水平的子数据集的信息增益
# 各个子数据集的最佳分类标签的不同水平...
# ...
# 直至递归结束
best_label_levels = dataSet[best_label].unique().tolist()
tree = {best_label: {}} # 生成字典,用于保存树状分类信息;这里不能用self.tree = {}存储
for level in best_label_levels:
level_subdata = self._split_dataSet(dataSet, best_label, level) # 获取该水平的子数据集
tree[best_label][level] = self.mktree(level_subdata) # 返回结果
return tree
def predict(self, tree, labels, test_sample):
"""
对单个样本进行分类
tree: 训练的字典
labels: 除去最后一列的其它字段
test_sample: 需要分类的一行记录数据
"""
firstStr = list(tree.keys())[0] # tree字典里找到第一个用于分类键值对
secondDict = tree[firstStr]
featIndex = labels.index(firstStr) # 找到第一个建(label)在给定label的索引
for key in secondDict.keys():
if test_sample[featIndex] == key: # 找到test_sample在当前label下的值
if secondDict[key].__class__.__name__ == "dict":
classLabel = self.predict(secondDict[key], labels, test_sample)
else:
classLabel = secondDict[key]
return classLabel
def _unit_test(self):
"""用于测试_entropy函数"""
data = [[1, 1, "yes"],
[1, 1, "yes"],
[1, 0, "no"],
[0, 1, "no"],
[0, 1, "no"],]
data = pd.DataFrame(data=data, columns=["a", "b", "c"])
# return data # 到此行,用于测试_entropy
# return self._split_dataSet(data, "a", 1) # 到此行,用于测试_split_dataSet
# return self._best_split(data) # 到此行,用于测试_best_split
# return self.mktree(self.dataSet) # 到此行,用于测试主程序mktree
self.tree = self.mktree(self.dataSet) # 到此行,用于测试主程序mktree
labels = ["age", "income", "student", "reputation"]
test_sample = [0, 1, 0, 0] # [0, 1, 0, 0, "no"]
outcome = self.predict(self.tree, labels, test_sample)
print("The truth class is %s, The ID3Tree outcome is %s." % ("no", outcome))
测试代码如下:
model = ID3Tree()
model._unit_test()
# print(json.dumps(model.gain, indent=" ")) # 可以查看每次递归时的信息熵
# print(json.dumps(model.tree, indent=" ")) # 查看树
# The truth class is no, The ID3Tree outcome is no.
2、sklearn实现ID3算法
DecisionTreeClassifier和DecisionTreeRegressor。在实例化对象时,可以选择设置一些参数。DecisionTreeClassifier适用于分类变量,DecisionTreeRegressor适用于连续变量。
import sklearn
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import cross_val_score
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=0, criterion="entropy", )
data = np.array(model.dataSet.iloc[:, :-1]) # model是上面代码的model
target = np.array(model.dataSet.iloc[:, -1])
clf.fit(data, target)
clf.predict([data[0]]) # 预测第一条数据
# array(['no'], dtype=object) # target[0]也为no
3、ID3的局限性:
1.ID3没有考虑连续特征
2.ID3采用信息增益大的特征优先建立决策树的节点。在相同条件下,取值比较多的特征比取值少的特征信息增益大。
3.ID3算法对于缺失值的情况没有做考虑
4.没有考虑过拟合的问题