剑指–剪绳子 II

1，题目：

割绳子2游戏python代码 割绳子2游戏攻略_状态转移


2，思路：

方法一：也是通过找的规律：

最后的结果只包含2和3(当然当总长度为2和3时单独处理), 那么很显然n >= 5时， 3*(n - 3) >= 2 * (n - 2) ，因此我们优先拆成3，最后剩余的拆成2。最后的结果一定是由若干个3和1或2组成.

写法二：也是通过找规律出来的：

循环结束的结果分为三种：

  • 1.n=2，等于说无限除以3，最后余下绳子长度为2，此时将res乘以2即可
  • 2.n=3，绳子全部用完，直接所有3相乘即可
  • 3.n=4，等于说余下绳子长度为1，因为4%3=1，但是3<2*2，也就是4本身，故最后乘4

方法三：动态规划：

  • d[i]表示长度为i的绳子剪完后各段乘积的最大值, 最终目标是dp[n]
  • dp[i]可以看成是长度为i-k的绳子的最大值和长度为k的绳子的最大值的乘积, 子问题最优, 所以dp[i]也是最优
  • 状态转移方程: dp[i] = max(dp[i], dp[i-k]*dp[k])

3，代码：

方法一：也是通过找的规律：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        /*
        最后的结果只包含2和3(当然当总长度为2和3时单独处理), 那么很显然n >= 5时， 3*(n - 3) >= 2 * (n - 2) ，因此我们优先拆成3，最后剩余的拆成2。最后的结果一定是由若干个3和1或2组成.


        */
        if(n == 2) {
            return 1;
        }
        if(n == 3){
            return 2;
        }
        int mod = (int)1e9 + 7;
        long res = 1;
        while(n > 4) {
            res *= 3;
            res %= mod;
            n -= 3;
        }
        return (int)(res * n % mod);
    }
}

写法二：也是通过找规律出来的：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        /*
        循环结束的结果分为三种：
1.n=2，等于说无限除以3，最后余下绳子长度为2，此时将res乘以2即可
2.n=3，绳子全部用完，直接所有3相乘即可
3.n=4，等于说余下绳子长度为1，因为4%3=1，但是3<2*2，也就是4本身，故最后乘4
        */
        if(n<=3) return n-1;
        long res=1;
        while(n>4){
            res*=3;
            res=res%1000000007;
            n-=3;
        }
        return (int)(res*n%1000000007);
    }
}

方法三：动态规划：

import java.math.BigInteger;

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        /*
        思路和上一题完全一样, 不同之处在于

使用int会溢出, 用long也会溢出, 所以使用java.math.BigInteger
需要使用BigInteger中的乘法、取最大值操作、取模操作
最后的返回结果需要按照题目要求取模
        */
        if(n<2)
            return 0;
        if(n==2)
            return 1;
        if(n==3)
            return 2;
        /*
        d[i]表示长度为i的绳子剪完后各段乘积的最大值, 最终目标是dp[n]
        dp[i]可以看成是长度为i-k的绳子的最大值和长度为k的绳子的最大值的乘积, 子问题最优, 所以dp[i]也是最优
        状态转移方程: dp[i] = max(dp[i], dp[i-k]*dp[k])
        */
        //下面的初始值不同于上面的特殊情况, 上面是必须剪一刀, 下面的三个初始值不用再减了
        BigInteger[] dp = new BigInteger[n+1];
        dp[1] = new BigInteger("1");//内循环中会用到这个值
        dp[2] = new BigInteger("2");
        dp[3] = new BigInteger("3");
        for(int i=4; i<=n; i++){
            //初始化dp[i]
            dp[i] = new BigInteger("0");
            //长度为i的绳子有i-1个剪切位置; 不论i是奇数还是偶数, 只考虑前i/2个剪切位置即可, 后面的剪切位置是重复的
            for(int j=1; j<=i/2; j++){
                //因为j和i-j都小于i, 所以这是自底向上的计算方式
                dp[i] = dp[i].max(dp[j].multiply(dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n].mod(new BigInteger("1000000007")).intValue();
    }
}