复习

向量空间(Vector space)是满足一定运算规则的向量集合,这个运算规则是对加法和数乘封闭,即结果仍然属于原空间。子空间(subspace)是在某个空间中选取的部分向量组成的集合,在新集合中,仍然满足其是一个向量空间。

一、子空间的交并运算

我们以判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数空间为例子说明子空间的运算规律:

  • 子空间之间的并集是否属于子空间
  • 子空间之间的交集是否属于子空间

在这里我们判断是否不属于子空间的方法是:举例法。

子空间的交并运算的结果不为空(至少有零向量),结果也是一些向量集合,至于这些集合是否为子空间,得看具体情况。

举个简单的例子,判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数空间两个“平面”子空间的并集。

判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_03

子空间的并集是两个平面所有向量的集合,如果我们取不与交线平行的向量(分属两个平面)进行线性组合,其结果必定是指向他们向量集合外的,因此我们认为子空间的并集不形成新的子空间。子空间的交集则是一条直线,直线上任意向量结果都是该直线,这个直线又是经过原点的直线,所以交集是子空间。经过简单的直观上的理解我们有以下结论[1]:

  • 子空间的并集不一定是子空间
  • 子空间的交集一定是子空间

二、矩阵的列空间

2.1 列空间比维数小的子空间

列向量维数决定其最大子空间。向量维数等于判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_04,无论如何组合都不可能产生一个判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_05的空间,假如恰好等于判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_04,也不一定是最大子空间,因为向量不是所有的都对“扩充子空间”产生有效作用。

假设我们有一个矩阵
判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_系数矩阵_07

因为列向量是有四个元素,因此列空间所处坐标系应该是四维的,即其线性组合在一个判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_08空间中。列空间不仅包含“扩展”他们的列向量,还包含所有的列向量线性组合。那么这三个列向量线性组合是否是“最大”的判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_08,又或者是其子空间,如果是子空间,那么子空间的大小是多大?

四维空间对于我们来说有点抽象,如果我们把问题转换成三维空间,用两个三维向量是否能够扩展到整个笛卡尔空间?显然是不行的,因为两个三维向量无论如何组合,都会属于一个平面,还有非常多的空间没法覆盖,所以说,就从类比的角度来看,上述的判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_10矩阵大概率是不能覆盖所有的判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_08空间,只能是更小的判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数空间。

2.2 判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_系数矩阵_13的空间解释

设系数矩阵判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_系数矩阵_07其组合系数和结果向量分别为判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_15

我们知道列空间是一个向量空间,是系数矩阵中列向量构成的空间。下面我们就从列空间的角度来解释判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_系数矩阵_13

  • 对于不同的判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_17,方程判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_18是否始终有解?答案是:否。三个四维列向量组成的空间不能表示所有的四维向量,就如同三维空间两个三维向量只能表示一个平面一样。四维空间:“你至少要用和我维数一样多的四维向量才能表示我”。
  • 什么样的判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_17,方程判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_18才能有解?答案:如果判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_17恰好在列向量扩成的列空间内。
  • 上述系数矩阵判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_22能否去掉一列,仍然能够表示原来的列空间?答:去掉那些多余的列向量即可,什么叫做“多余的”,也就是向量去掉后,经过内部协作能够替代掉的向量,如本例中的第一列和第二列相加后能够完全替代第三列的向量。

三、零空间

3.1 判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_23定义零空间

列向量可以形成列空间,对于结果向量为零向量的方程其解组成的空间是否是子空间呢?还是前面提到的方程为例,我们取:判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_24方程的解是一个三维的系数向量判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_25,这些解组成的空间就是零空间,零空间是属于判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数的。
判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_27

上述方程的系数可以是什么?

  • 零向量:判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_28
  • 一个解。判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_29
  • 又一解。判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_30
  • 再一个解。判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_31

慢着,似乎这个解是无穷多个的,幸好我们可以用一个式子来表述:

  • 所有解通用表示。判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_32

从向量空间的角度来看,他就是一个过点判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_33直线,显然是一个子空间。零空间是子空间是一个巧合吗?

3.2 证明零空间是子空间
  • 加法封闭;在零空间任取两个向量判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_34判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_35,即方程的系数两组组合系数,有:判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_36 判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_37,根据矩阵的加法运算,有判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_38成立,加法封闭成立。
  • 数乘封闭。任取一个向量判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_34,有判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_36,其数乘,判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_41,数乘也封闭。
3.3 非零空间是子空间吗?

不是的。我们取上述的判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_系数矩阵_42方程变成:判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_43那么他们的解是否构成子空间?显然不是的,因为前面我们已经知道子空间必须包含零向量,在本例中,零向量显然不能使的等式成立,故不是一个子空间。那么它是一个什么向量集合组成的?可以取:

  • 判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_系数矩阵_44
  • 判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_45
  • 判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_判断是否是JSON java_46

虽然不太好找,事实上其通解为:
判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_47

空间中是一条不经过原点的直线。

判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_并集_48

四、小结

  • 子空间的并集不一定仍是子空间,但是交集肯定是子空间;
  • 列空间是矩阵列向量形成的空间,不一定能形成最大子空间;
  • 零空间判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_线性代数_49的系数向量构成的空间,一定是一个子空间;
  • 非零空间判断是否是JSON java 判断是否是R3的子空间_R3_50所构成的空间,一定不是一个子空间;

[1] 严格的证明在这里就不深入理解了。