复习
向量空间(Vector space)是满足一定运算规则的向量集合,这个运算规则是对加法和数乘封闭,即结果仍然属于原空间。子空间(subspace)是在某个空间中选取的部分向量组成的集合,在新集合中,仍然满足其是一个向量空间。
一、子空间的交并运算
我们以空间为例子说明子空间的运算规律:
- 子空间之间的并集是否属于子空间
- 子空间之间的交集是否属于子空间
在这里我们判断是否不属于子空间的方法是:举例法。
子空间的交并运算的结果不为空(至少有零向量),结果也是一些向量集合,至于这些集合是否为子空间,得看具体情况。
举个简单的例子,空间两个“平面”子空间的并集。
子空间的并集是两个平面所有向量的集合,如果我们取不与交线平行的向量(分属两个平面)进行线性组合,其结果必定是指向他们向量集合外的,因此我们认为子空间的并集不形成新的子空间。子空间的交集则是一条直线,直线上任意向量结果都是该直线,这个直线又是经过原点的直线,所以交集是子空间。经过简单的直观上的理解我们有以下结论[1]:
- 子空间的并集不一定是子空间
- 子空间的交集一定是子空间
二、矩阵的列空间
2.1 列空间比维数小的子空间
列向量维数决定其最大子空间。向量维数等于,无论如何组合都不可能产生一个的空间,假如恰好等于,也不一定是最大子空间,因为向量不是所有的都对“扩充子空间”产生有效作用。
假设我们有一个矩阵
因为列向量是有四个元素,因此列空间所处坐标系应该是四维的,即其线性组合在一个空间中。列空间不仅包含“扩展”他们的列向量,还包含所有的列向量线性组合。那么这三个列向量线性组合是否是“最大”的,又或者是其子空间,如果是子空间,那么子空间的大小是多大?
四维空间对于我们来说有点抽象,如果我们把问题转换成三维空间,用两个三维向量是否能够扩展到整个笛卡尔空间?显然是不行的,因为两个三维向量无论如何组合,都会属于一个平面,还有非常多的空间没法覆盖,所以说,就从类比的角度来看,上述的矩阵大概率是不能覆盖所有的空间,只能是更小的空间。
2.2 的空间解释
设系数矩阵其组合系数和结果向量分别为
我们知道列空间是一个向量空间,是系数矩阵中列向量构成的空间。下面我们就从列空间的角度来解释
- 对于不同的,方程是否始终有解?答案是:否。三个四维列向量组成的空间不能表示所有的四维向量,就如同三维空间两个三维向量只能表示一个平面一样。四维空间:“你至少要用和我维数一样多的四维向量才能表示我”。
- 什么样的,方程才能有解?答案:如果恰好在列向量扩成的列空间内。
- 上述系数矩阵能否去掉一列,仍然能够表示原来的列空间?答:去掉那些多余的列向量即可,什么叫做“多余的”,也就是向量去掉后,经过内部协作能够替代掉的向量,如本例中的第一列和第二列相加后能够完全替代第三列的向量。
三、零空间
3.1 定义零空间
列向量可以形成列空间,对于结果向量为零向量的方程其解组成的空间是否是子空间呢?还是前面提到的方程为例,我们取:方程的解是一个三维的系数向量,这些解组成的空间就是零空间,零空间是属于的。
上述方程的系数可以是什么?
- 零向量:
- 一个解。
- 又一解。
- 再一个解。
慢着,似乎这个解是无穷多个的,幸好我们可以用一个式子来表述:
- 所有解通用表示。
从向量空间的角度来看,他就是一个过点直线,显然是一个子空间。零空间是子空间是一个巧合吗?
3.2 证明零空间是子空间
- 加法封闭;在零空间任取两个向量和,即方程的系数两组组合系数,有: ,根据矩阵的加法运算,有成立,加法封闭成立。
- 数乘封闭。任取一个向量,有,其数乘,,数乘也封闭。
3.3 非零空间是子空间吗?
不是的。我们取上述的方程变成:那么他们的解是否构成子空间?显然不是的,因为前面我们已经知道子空间必须包含零向量,在本例中,零向量显然不能使的等式成立,故不是一个子空间。那么它是一个什么向量集合组成的?可以取:
虽然不太好找,事实上其通解为:
空间中是一条不经过原点的直线。
四、小结
- 子空间的并集不一定仍是子空间,但是交集肯定是子空间;
- 列空间是矩阵列向量形成的空间,不一定能形成最大子空间;
- 零空间的系数向量构成的空间,一定是一个子空间;
- 非零空间所构成的空间,一定不是一个子空间;
[1] 严格的证明在这里就不深入理解了。