python向量的叉乘 python向量叉乘函数

转载

mob6454cc6b413f 2023-10-05 11:14:40

文章标签 python向量的叉乘线性代数 python numpy 点乘 文章分类 Python 后端开发

一、矩阵

1）矩阵点乘——各个矩阵对应元素相乘

2）矩阵叉乘——矩阵乘法规则运算

二、向量

1）向量点乘——欧几里得空间的标准内积

2) 向量叉乘

一、矩阵

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。由m×n个数

排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：

python向量的叉乘 python向量叉乘函数_python向量的叉乘

矩阵对应二维数组(array)。

1）矩阵点乘——各个矩阵对应元素相乘

$y = wx = \begin{bmatrix} w_{11}\\ w_{21} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21}& x_{22} & x_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_{11}x_{11} & w_{11}x_{12} & w_{11}x_{13}\\ w_{21}x_{21}& w_{21}x_{22} & w_{21}x_{23} \end{bmatrix}$

or:

$y = wx = \begin{bmatrix} w_{11} & w_{12} &w_{13} \\ w_{21} & w_{22} & w_{23} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11} &x_{12} & x_{13}\\ x_{21}& x_{22} & x_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_{11}x_{11} & w_{12}x_{12} &w_{13}x_{13} \\ w_{21}x_{21} & w_{22}x_{22} & w_{23}x_{23} \end{bmatrix}$

python代码示例：

A = np.array([[1],[2]])
B = np.array([[1,2,4],[1,4,5]])
C = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])

X = A*B
array([[ 1,  2,  4],
       [ 2,  8, 10]])

X == np.multiply(A,B)
array([[ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True]])

Y = B*C
array([[ 1,  4, 12],
       [ 4, 20, 30]])
Y == np.multiply(B,C)
array([[ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True]])

要点：矩阵点乘中，点乘对象的行数必须相等，且前者的列数必须与后者相等，或为1。

numpy库中可使用运算符*或multiply函数计算。

需要重点指出的是：

当矩阵A和矩阵B的维度相同时，矩阵点乘即为哈达玛积（Hadamard Product/Point-wise Product/Element-wise Product/Element-wise Multiplication），如下图所示：

python向量的叉乘 python向量叉乘函数_线性代数_04

python向量的叉乘 python向量叉乘函数_线性代数_05

哈达玛积在书写时用

$\odot$

表示，向量可以看做是一维矩阵，也可进行哈达玛积。

2）矩阵叉乘——矩阵乘法规则运算

$y = wx = \begin{bmatrix} w_{11} &w_{12} \\ w_{21} &w_{22} \\ w_{31} &w_{32} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21}& x_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_{11}x_{11}+w_{12}x_{21} &w_{11}x_{12}+w_{12}x_{22} \\ w_{21}x_{11}+w_{22}x_{21} &w_{21}x_{12}+w_{22}x_{22} \\ w_{31}x_{11}+w_{32}x_{21}&w_{31}x_{12}+w_{32}x_{22} \end{bmatrix}$

python代码示例：

A = np.array([[1,2],[3,4],[1,5]])
B = np.array([[1,2],[2,1]])

A@B
array([[ 5,  4],
       [11, 10],
       [11,  7]])

A@B  == np.dot(A,B)
array([[ True,  True],
       [ True,  True],
       [ True,  True]])

小结：矩阵叉乘中，前者的列数必须和后者的行数相等。

numpy库中可使用运算符 @或dot函数计算。

二、向量

向量是由N个实数组成的一行N列或N行一列的的数组。

向量对应一维数组。

1）向量点乘——欧几里得空间的标准内积

$\small \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 +\dotsb+ a_nb_n = \left |\overrightarrow{a} \right |\left |\overrightarrow{b} \right |\cdot \cos \theta\qquad \theta(0\leqslant \theta\leqslant \pi)$

向量点乘又称，点积、内积、数量积、标量积。

2) 向量叉乘

与向量点乘不同，向量叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。两个向量叉乘所得向量与这两个向量垂直，如下图所示。

python向量的叉乘 python向量叉乘函数_线性代数_09

所得向量的模长：

$\left | \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin\theta (0\leqslant \theta\leqslant \pi)$