梯形法算积分值Python 梯形法求积分的精度

复化求积方法对提高积分精度是行之有效的，但必须事先给出恰当的步长h。如果步长太长，则难以保证精度，太小则增加计算量。在实际应用中，一般采用变步长积分法来解决该问题，即让步长不断减小，考察在不同步长条件下的计算结果的精度，一旦计算结果满足精度要求，则可以停止计算，给出正确答案。这是面向计算机的解决方案。在人工计算的条件下，一般采用一种特殊的变步长法，即采用逐次二分积分区间的方法得到不断减半的步长，再应用复化求积方法，可推导出某种递推公式，既可减少计算量，又可以较快地达到计算精度的要求。

1. 变步长梯形法

对于$I=\int_a^bf(x)dx$，将积分区间$[a,b]$分成n等分，则共有$n+1$个分点：
$x_k=a+kH \quad (k=0,1,2,\cdots,n),H=(b-a)/n$
设此时用复化梯形公式求得的积分值为$T_n$。进一步地，将积分区间$[a,b]$分成2n等分，则共有$2n+1$个分点，设此时用复化梯形公式求得的积分值为$T_{2n}$。显然，在计算$T_{2n}$的过程中所用的分点有一半是计算$T_n$时用过的，重复计算是浪费。为此，有必要研究$T_n$和$T_{2n}$之间的关系。

对于任意一个子区间$[x_k,x_{k+1}]$，用梯形公式计算的积分值记为$T_{1,k}$，在其中间增加一个节点$x_{k+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x_k+x_{k+1})$后，用复化梯形公式计算的积分值为$T_{2,k}$。则有：
$T_{1,k}=\frac{1}{2}H[f(x_k)+f(x_{k+1})] \\ T_{2,k}=\frac{1}{4}H[f(x_k)+2f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]$
分析$T_{2,k}$和$T_{1,k}$的关系，可得：
$T_{2,k}=\frac{1}{2}T_{1,k}+\frac{1}{2}H·f(x_{k+\frac{1}{2}})$
所以
$T_{2n}=\frac{1}{2}T_n+\frac{1}{2}H\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}}) \tag{1}$
或
$T_{2n}=\frac{1}{2}T_n+h\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})$
式中，$\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})$为区间$[a,b]$分成n等分再次二分而增加的新节点的函数值之和。要特别注意的是$H=(b-a)/n$为区间$[a,b]$分成n等分的步长，$h=\frac{b-a}{2n}$为区间$[a,b]$分成2n等分的步长，$x_{k+\frac{1}{2}}=a+(k+\frac{1}{2})H$。

如果将区间$[a,b]$继续分成4n等分、8n等分、···、2n(i=0,1,···)等分，均可按照公式（1）递推计算出来。

在实际计算中，利用某二分前后两次积分值之差的绝对值$|T_{2n}-T_n|\leq \epsilon$，来判断积分近似值$T_{2n}$是否满足精度要求。

2. 变步长梯形法的误差

在变步长梯形法中，把区间$[a,b]$分成n等分后，用复化梯形公式计算积分I的近似值为$T_n$，截断误差为：
$R_n=I-T_n=-\frac{(b-a)}{12}(\frac{b-a}{n})^2f^{(2)}(\eta_n)$
把区间$[a,b]$分成2n等分后，用复化梯形公式计算积分I的近似值为$T_{2n}$，截断误差为：
$R_{2n}=I-T_{2n}=-\frac{(b-a)}{12}(\frac{b-a}{2n})^2f^{(2)}(\eta_{2n})$
当$f^{(2)}(\eta)$在区间$[a,b]$上变化不大时，有$f^{(2)}(\eta_n)\approx f^{(2)}(\eta_{2n})$，故
$\frac{R_{2n}}{R_n}=\frac{1-T_{2n}}{1-T_n}\approx \frac{1}{4}$
整理，得事后误差估计式为：
$1-T_{2n}\approx \frac{1}{3}(T_{2n}-T_n)$
也就是说，用前后两次计算的结果之差来估计误差，两者越接近则精度越高。这是所谓的误差的时候估计。将$I$和$T_{2n}$的误差补偿给$T_{2n}$，得到比$T_{2n}$更精确的积分近似值：
$\overline I=\frac{4}{3}T_{2n}-\frac{1}{3}T_n$