多目标优化算法的性能指标
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基础知识
在对多目标优化算法的性能进行评价时，主要有两个评价标准：多样性和收敛性。由于单一的性能指标不能很好地同时反映这两个评价标准，本文使用了三种性能指标来衡量多目标优化算法的性能。三个性能指标分别为超体积度量(Hypervolume, HV) [1] ，得到的非占优解集与参考解集之间的度量(Inverted Generational Distance, IGD) [2] 和 二元指标Coverage metric指标[3]。
HV：该性能指标是由Zitzler等 [1] 提出的，它用于度量一个目标空间的体积，该目标空间至少被非占优解集中的一个解占优。HV能很好地衡量算法的收敛性和多样性。令 X 记为算法求解得到的非占优解集，P 记为真实帕累托前沿对应的参考点，通常是各个目标上的最大值形成的向量。那么，非占优解集到真实帕累托前沿的超体积，即 HV 指标，具体计算方式如下：
其中，v(x,P) 表示非占优解集 X 中解 x 与参考点 P 之间形成空间的超体积，即：以解 x 和参考点 P 之间的连线作为对角线，构建的超立方体的体积。因此，HV指标也可以同时评估占优解集的收敛性和多样性。非占优解集的 HV 指标数值较大意味着，该解集在收敛性和多样性的方面更加接近真实帕累托前沿，是较好的非占优解集。对多次运行结果的分析包括以下两步，首先计算出每次单独运行结果的 HV 指标，然后计算其平均值和方差。这里同样需要归一化处理，具体见图 1（b）。
IGD：该指标用于计算真实帕累托前沿中所有解与求解算法获得的非占优解的平均欧式距离。IGD 值越小，表明非占优解集越逼近真实帕累托前沿并且分布更均匀，解集的收敛性和多样性更好。记算法求解算例获取的解集为 X，P * 为真实帕累托前沿上均匀分布的点集，则 X 的 IGD 值计算公式如下：
其中，d(x * ,X) 表示解 x * ∈ P * 到 X 中解的最小欧式距离，|P * | 表示 P * 内解的个数，具体见图 1（a）。
C-metric 的值用C(𝑋, 𝑌)计算，其中𝐶(𝑋, 𝑌)表示解集Y中有多少比例的解被解集X中的某解占优，𝐶(𝑋, 𝑌)与𝐶(𝑌, 𝑋)不一定相等或相反，见图 1（c）。
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参考文献
[1] Laumanns M. SPEA2 : Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm[J]. Technical Report Gloriastrasse, 2002.
[2] Zhang Q, Li H. MOEA/D: A Multiobjective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2007, 11(6):712-731.
[3] Zitzler E, Thiele L. Multiobjective evolutionary algorithms: a comparative case study and the strength Pareto approach[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 1999, 3(4):257-271.
