零钱兑换也是动态规划的典型问题,一般是给你几种零钱,数量不限,给一个amount,问共有多少种兑零钱的方法。
我们看一个案例
案例1:
给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
我们首先定义一个dp数组,dp[i]表示兑换i块钱所需的最少硬币个数。
加入coins={1,2,5}
那么dp[i]就可以拆分为三个小问题
①dp[i-1]+1
②dp[i-2]+1
③dp[i-5]+1
因为要求的是最少硬币个数,所有我们对三种方案求最小值即可。
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = amount + 1;
int[] dp = new int[amount + 1];
//根据题意,可能有兑换不成功的情况,所以我们定义dp[i]的最大值为amount+1
Arrays.fill(dp, max);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
//只有当前钱数i大于硬币面值时才可以兑换
int coin=coins[j];
if (coin <= i) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
}
}
}
return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}
}
案例2:
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币,另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额,返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
本题目跟案例1非常相似,差别在于案例1求的是最小硬币数,本题目求的是硬币组合数
但有个问题需要考虑,按照案例1的遍历顺序,会产生重复的组合数。
所以案例2进行了去重改进外层循环基于coins进行遍历,内层循环对amount遍历。
如此循环不会产生重复组合的原因是
因为外层循环是遍历数组 coins 的值,内层循环是遍历不同的金额之和,在计算dp[i] 的值时,可以确保金额之和等于 i 的硬币面额的顺序,由于顺序确定,因此不会重复计算不同的排列。
例如coins=[1,2],对于dp[3] 的计算,一定是先遍历硬币面额 1, 后遍历硬币面额 2,只会出现以下 2 种组合:
3=1+1+1
3=1+2
硬币面额 2 不可能出现在硬币面额 1 之前,即不会重复计算 3=2+1 的情况。
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount + 1];
//0元只有一种
dp[0] = 1;
for (int coin : coins) {
for (int i = coin; i <= amount; i++) {
dp[i] += dp[i - coin];
}
}
return dp[amount];
}
案例3:
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ,和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
这个题目和案例1极为相似,差别在于案例1求的是最小硬币个数,本题目求的是组合个数
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
//对应任意x,dp[x],如果有nums[i]小于x,那么dp[x]=sum{dp[x-nums[i]]}
for (int i = 1; i <= target; i++) {
for (int num : nums) {
if (num <= i) {
dp[i] += dp[i - num];
}
}
}
return dp[target];