定积分
函数 \(f(x)\) 在区间 \([l,r]\) 上的定积分 \(\int_{l}^{r} f(x) dx\) 指的是 \(f(x)\) 在区间 \([l,r]\) 内与 \(x\) 轴所围成的区域的面积(\(x\)轴上方为正,下方为负)。
我们需要一种高效的求解这种积分的近似值的方法,于是就有了辛普森积分法。
普通辛普森法
辛普森法的基本思想是将求解区间分成若干段,每一段都使用二次函数的积分公式来进行求解。
二次函数积分公式(辛普森公式):
对于一个二次函数\(f(x)=Ax^2+Bx+C\),有
证(from OI-Wiki):
求积分可得
那么则有
然后我们通过套公式就可以写出这样一段代码:
double simpson(double l, double r) {
const double mid = (l + r) / 2;
return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6; //f(x)为待求解的函数
}
自适应辛普森
普通的辛普森积分法为了保证精度,在时间效率上会很大地受到区间的限制。
问题在于:区间少了精度不够,区间多了又太慢。
自适应辛普森做到了自动控制拆分区间的大小。
double asr(double l, double r, double eps, double ans) {
const double mid = (l + r) / 2;
const double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps)
return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;
return asr(l, mid, eps / 2, fl) + asr(mid, r, eps / 2, fr);
}
到了这里,你就可以去做 Luogu P4525 【模板】自适应辛普森法1了!