Android 中 贝塞尔曲线动画 贝塞尔曲线轨迹规划

贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的一种曲线。在1962年由法国工程师皮埃尔·贝济埃运用于汽车的主体设计。贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线.

曲线由起始点、终点和控制点组成。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。贝塞尔曲线有很多特殊的性质，现在主要应用于图形设计和路径规划。

贝塞尔曲线完全由控制点决定其形状，n个控制点对应着n-1阶的贝塞尔曲线，最重要的是，可以通过递归的方式来绘制。

一阶曲线

从图中可以看出，一阶的贝塞尔曲线是一条直线，并且通过几何相关的知识，可以得到一阶贝塞尔曲线关于t的坐标：

$B_{1}(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1}, t \in [0,1] \tag{1}$
一阶贝塞尔曲线很好理解，就是一条直线，$P_{0}$坐标为$(x_0,y_0)$，$P_{1}$坐标为$(x_1,y_1)$，$B_{1}(t)$为根据$t$线性插值得到的。

二阶曲线

从图中可以看出，$P_{0}$与$P_{1}$之间有一个会根据$t$值变化的插值点，$P_{1}$与$P_{2}$之间也有一个变化的插值点，设这两个插值点分别为$A_{0}$与$A_{1}$。

另外在点$A_{0}$与$A_{1}$之间也有一个插值的动点。

到这一步，为什么递归可以绘制出贝塞尔曲线，是不是就很明白了。

高阶曲线

上图分别为三阶、四阶、五阶的贝塞尔曲线图，看起来是不是丝滑流畅。

通用公式：
$P_{i}^{k}=\begin{cases} P_{i} & \text{k=0} \\ (1-t)P_{i}^{k-1}+tP_{i+1}^{k-1} & \text{k=1,2,\dots,n};\space\text{i=0,1,\dots,n-k} \\ \end{cases}$

公式中，$k$表示阶数，$i$表示当前阶数条件下第$i$个点。

高阶的贝塞尔曲线可以通过不停的递归，直到一阶。

贝塞尔曲线的特点及用途

对于贝塞尔曲线，最重要的点是数据点和控制点：

• 数据点： 指一条路径的起始点和终止点
• 控制点：控制点决定了一条路径的弯曲轨迹

根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一阶贝塞尔曲线（0个控制点）、二阶贝塞尔曲线（1个控制点）、三阶贝塞尔曲线（2个控制点）等等。

特点一：曲线通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于始点和终点，中间点将曲线拉向自己。
特点二：平面离散点控制曲线的形状，改变一个离散点的坐标，曲线的形状将随之改变（点对曲线具有整体控制性）。
特点三：曲线落在特征多边形的凸包之内，它比特征多边形更趋于光滑。

在规划中，其实大部分情况下，很多时候都没法找到一个合适的多项式，能满足相关的软硬约束，路点太多。因此，大部分时候，会将routing出来的路点，分成很多段，每段用贝塞尔曲线表示，计算量小，且光滑。