矩阵sigmoid函数导数的代码 函数矩阵求导例题

矩阵论的所有文章，主要内容参考北航赵迪老师的课件

[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，但不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

3.6 矩阵函数求导

3.6.1 积分与求导定义

设 $m\times n$ 阶矩阵 $A(x)=\left(a_{ij}(x)\right)_{m\times n}$ 中的元素都是 x 的可导函数，则 $A(x)$ 为关于 $x$ 的求导为：
$A$

---

设 $A(x)=\left(a_{ij}(x)\right)_{m\times n}$ 的元素在区间 $[a,b]$ 连续，在区间 $[a,b]$ 上的积分记为
$\int_a^bA(x)dx=\int_a^b\left(a_{ij}(x)dx\right)_{m\times n}$
eg

3.6.2 运算性质

1. 若 $A$ $\iff$ $A(x)=D(常数矩阵)$
2. 求和求导：设 $A(x)=(a_{ij}(x))_{n\times n}$ ，$B(x)=(b_{ij}(x))_{n\times n}$ 在区间 $[a,b]$ 可到，则有 $\frac{d(A(x)+B(x))}{dx}=\frac{dA(x)}{dx}+\frac{dB(x)}{dx}=A$
3. 乘积求导：
4. 参数化：
6. 求和积分：



8. 积分倍乘：



10. N-L公式



12. 逆阵求导：

3.6.3 讨论含参阵的求导

3.6.4 3个含参矩阵函数的求导

对于三个矩阵函数 $f(tA)=e^{tA},cos(tA),sin(tA)$ ，设方阵 $A\in C^{n\times n}$ ，则有求导公式
$\begin{aligned} &\frac{de^{tA}}{dt}=Ae^{tA}\\ &\frac{d(sin(tA))}{dt}=Acos(tA)\\ &\frac{dcos(tA)}{dt}=-Asin(tA) \end{aligned}$

SP

$\begin{aligned} &\frac{de^{-tA}}{dt}=-Ae^{-tA}\\ &\frac{d[e^{-tA}X(t)]}{dt}=X$

---

由欧拉公式

$e^{tx}=costx+isintx,e^{-tx}=costx-isintx\\ cos(tx)=\frac{e^{itx}+e^{-itx}}{2},sin(tx)=\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i}$

$\frac{dcos(tA)}{dt}=\frac{1}{2}(e^{itA}iA-iAe^{-itA})=\frac{i^2}{2i}A(e^{itA}-e^{-itA})=-\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i}A=-Asin(tA)\\ \frac{dsin(tA)}{dt}=\frac{1}{2i}(e^{itA}iA+iAe^{-itA})=\frac{i}{2i}A(e^{itA}+e^{-itA})=\frac{e^{itA}+e^{-itA}}{2}A=Asin(tA)$

3.6.5 对于 $W(t)=f(tA)$

若已知 $W(t)=f(tA)$ ，两边求导 $\frac{df(tA)}{dt}=\frac{dW(t)}{dt}\Rightarrow W$

• 令 $t=0$ ，可得 $W$

若 $W(t)=e^{tA}$ ，两边求导 $\frac{dW(t)}{dt}=\frac{d(e^{tA})}{dt} \Rightarrow W$

• 令 $t=0$ ，可得 $W$

eg

$\begin{aligned} &\frac{de^{tA}}{dt}=\left( \begin{matrix} (cosat)$

---

$\begin{aligned} &令e^{tA}=e^{2t}B,则(e^{tA})$

3.7 一阶线性常系数微分方程组

$\begin{aligned} &对于一阶线性常系数微分方程，有\left\{ \begin{aligned} \frac{dx_1(t)}{dt}&=a_{11}x_1(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)+f_1(t)\\ &\vdots\\ \frac{dx_n(t)}{dt}&=a_{n1}x_1(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)+f_n(t)\\ \end{aligned} \right. ,满足x_i(t_0)=c_i,i=1,\cdots,n\\ &若令A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},\vec{c}=\left( \begin{matrix} c_1\\\vdots\\c_n \end{matrix} \right)，x(t)=\left( \begin{matrix} x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_n(t) \end{matrix} \right),f(t)=\left( \begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix} \right)\\ &可表示为\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+f(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned} \right.,其中f(t)为非齐次项\\ &若f(t)=\left( \begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix} \right)=\vec{0},可得齐次微分方程，\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned} \right. \end{aligned}$

$若\frac{dA(t)}{dt}=A$

3.7.1 求解齐次方程组

a. 一阶微分

$齐次方程组 \frac{dA(t)}{dt}=Ax有唯一解公式:x=e^{At}\vec{c}，即x=e^{At}x(0)$

eg

$\begin{aligned} &(1)求e^{tA}\\ &A-I=\left( \begin{matrix} -4&4&2\\-2&2&1\\-2&2&1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2\\1\\1 \end{matrix} \right)(-2,2,1),r(A-I)=1,且\lambda(A-I)=\{-1,0,0\}\Rightarrow \lambda(A)=\{0,1,1\}\\ &对于2重根\lambda_2=1,有r(A-I)=3-2=1,故A为单阵\\ &A有谱分解，A=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2，令f(x)=e^{tx},f(\lambda_1)=e^{0}=1,f(\lambda_2)=e^{t\cdot1}=e^t,G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=I-A,G_2=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}=A\\ &e^{tA}=f(\lambda_1)G_1+f(\lambda_2)G_2=G_1+e^tG_2=I-A+e^tA=I+(e^t-1)A=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\\ &(2)求齐次线性方程的解X=e^{tA}\vec{c}=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4e^t-4\\3e^t-2\\2e^t-2 \end{matrix} \right)\\ &(3)代入t=0检验,X(0)=\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\vec{c} \end{aligned}$

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$\begin{aligned} &令A=\left( \begin{matrix} 3&-1\\1&1 \end{matrix} \right),X=\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right),可写方程\frac{dX}{dt}=AX,通解公式为X=e^{tA}\vec{c},\vec{c}_{t=0}=\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)\\ &(1)A为行和矩阵，\lambda(A)=\{2,tr(A)-2\}=\{2,2\},A-2I=\left( \begin{matrix} 1&-1\\1&-1 \end{matrix} \right),r(A-2I)=1\neq2-2=0\\ &\quad A不是单阵，(A-2I)^2=0,故由平移幂0阵可写解析函数f(x)=f(2)+f$

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二阶微分

$\begin{aligned} &令y=x$

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$\begin{aligned} &x$