浮点的计算方法
- 1、计算步骤
- 2、基本要素
- 2.1 浮点数
- 2.2 规格化浮点数
- 2.3 偏置指数
- 2.4 IEEE浮点数
- 2.5 特点
- 3、计算实例
- 4、舍入机制
- 扩展：乘除计算步骤
1、计算步骤
浮点数格式：
单精度：符号位1位，阶码8位，尾数23位
双精度：符号位1位，阶码11位，尾数52位
阶码是移码表示
浮点数的加减运算的五个步骤：对阶、尾数运算、规格化、舍入（要求使用对偶舍入）（0舍1入）、溢出判断。
对阶：小阶向大阶转换，对完阶后浮点数组成为大阶码+尾数；尾数相加用新的尾数（包括低位移出的位数）
规格化：（保证小数点左右两边不同，可能规格化好几次）是指相加的尾数格式是否符合左规右规。
右规：01.xxxx或者10.xxxx，将尾数连同符号位右移一位，和的阶加1，最终得到00.1xxxx或者11.0xxxx
左规：当尾数连同符号位为00.0xxxx或者11.1xxx（即小数点左右两位相同）；将尾数连同符号位左移一位，和的阶减1
溢出：部分符号位01或者10 不溢出（即阶码的符号位中出现01或者10时才溢出）；尾数的符号位中出现01或者10时右规
2、基本要素
2.1 浮点数
浮点数即实数，实数是所有有理数和无理数的集合。它之所以被称作浮点数，是因为小数点在数中的位置并不是固定的。一个浮点数值分为两部分存储：数值以及小数点在数值中的位置。
2.2 规格化浮点数
IEEE 754浮点数的尾数总是规格化的，其范围为1.000…0 × 2e~ 1.111…1 × 2 e ，e为指数。
规格化浮点数的最高位总是1，规格化使尾数的所有位都是有效的，因而尾数精度更高。
如：0.10… × 2 e规 格 化 为 1.10… × 2 e-1
10.1… 2 e 规 格 化 为 1.01… × 2 e+1
尾数规格化充分利用了可用的最大精度。如，一个8位非规格话的尾数0.0000101只有4位有效位，而规格化后的8位尾数1.0100011则有8位有效位。
2.3 偏置指数
IEEE 754浮点数的尾数被表示为符号及值的形式，即用一个符号位表示它是正数还是负数。它的指数则用偏置方式表示(即阶码是移码表示)，即给真正的指数加上一个常数。
其他的浮点详细信息可见：浮点的表示方法 已知32位单精度浮点数的指数部分是8位，则偏置值为127。如果一个数的指数为0，则被保存为 0+127=127。如果指数为-2，则被保存为− 2 + 127 = 125 。如果指数为-1，则被保存为− 1 + 127 = 126 。
实数1010.1111规格化的结果为1.010111 × 2 3 ，指数为3，将被保存为3 + 127 = 130 。
这种用偏置表示指数的方法优点在于：最小的负指数被表示为0，如果不采用这种方法，0的浮点表示为0.0…0×2{最小负指数}，采用偏置指数。0就可以用尾数0和指数0表示：
2.4 IEEE浮点数
一个32位IEEE 754单精度浮点数可以被表示为下面的二进制串：
S EEEEEEEE 1.MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
S为符号位，指明这个数是正数还是负数
E为8位偏置指数，指出了小数点的位置
M为23位尾数IEEE浮点数的尾数总是规格化的，其值范围在1.0000…00 − 1.1111…11 1.0000…00-1.1111…111.0000…00−1.1111…11 ，除非这个浮点数是0，此时尾数为0.000…00 0.000…000.000…00。
由于尾数总是规格化的，且最高位总是为1，因此将尾数存入存储器时没有必要保存最高位的1。所以，一个非0的IEEE 754浮点数可被定义为：X = ( − 1 ) S × 2^E − B^ × 1. F X，其中：
S符号位
E：偏置量为B的指数
F：尾数的小数部分（实际的尾数为1.F，有个隐含的1）
ps：浮点数0被表示为S=0，E=0，M=0（即浮点数0用全0表示）在32位IEEE 754单精度浮点数格式中，最大指数E_{max}为127，最小指数E_{min}为-126，而不是−127至128。E_{min} -1(即-127)用来表示浮点0，E_{max} +1(即128)用来表示正/负无穷大或NaN数。
tips:nan是计算机科学中数值数据类型的一类值，表示未定义或不可表示的值。常在浮点数运算中使用，是以浮点数表示实数时的特殊值。
下图，描述了IEEE单精度浮点数格式，指数E=0和E=255等特例分别被用于表示浮点0，非规格化效数、正/负无穷大、以及NaN：
2.5 特点
（1）浮点数接近0时的特点，下图描述了一个指数2位，尾数为2位的浮点数系统。浮点数0表示00 000，下一个规格化的正数表示为00 100（即2−b× 1.00 ,b为偏置常数）：
浮点数0附近有一块禁止区，其中的浮点数都是非规格化的，因此无法被表示为IEEE标准格式。这个数的指数和起始位都是0的区域，也可用来表示浮点数。但是这些数都是非规格化的，其精度比规格化的精度低，会导致渐进式下溢。
（2）IEEE标准规定，缺省的舍入技术应该向最近的值舍入。
（3）IEEE标准规定了4种比较结果，分别是等于、小于、大于和无序，无序用于一个操作数是NaN数的情景。
（4）IEEE标准规定了5种异常：
1.操作数不合法：使用了一些不合法的操作数：NaN数、无穷大数、求负数的平方根（这里不必考虑）。
2.除数为0（这里是加法器，所以不需要考虑）
3.上溢：当结果比最大浮点数还大时，处理上溢的方法有终止计算和饱和运算（用最大值作为结果）等
4.下溢：当结果比最小浮点数还小时，处理下溢的方法有将最小浮点数设为0或用一个小于 2^{E_{min}}^ 的非规格化数表示最小浮点数等方式处理。
5.结果不准确：当某个操作产生舍入错误时。3、计算实例
由于IEEE标准下的浮点操作数已被表示为规格化形式，计算机在进行浮点加法时，为了对齐指数，计算机必须执行下面步骤：
第一步，找出指数较小的数
第二部，使两个数的指数相同
第三步，尾数相加
第四步，如果有必要，将结果规格化
以一个简单的8位尾数和一个未对齐的指数为例说明浮点运算，A = 1.0101001 × 24 ， B=1.1001100×23，计算A+B
注意：
（1）因为IEEE754标准的32位单精度浮点数的指数与尾数位于位于同一个字中，所以在加法过程开始之前必须将它们分离开。
（2）如果两个指数的差大于p+1，p为尾数的位数，这里p=23，较小的数由于太小而无法影响较大的数，结果实际就等于较大的数。
（3）结果规格化时检查指数范围，以分别检测指数下溢或上溢。指数下溢会导致结果为0，而指数上溢出会造成错误。
浮点加法运算的流程图
4、舍入机制
浮点运算可能引起尾数位数的相加，需要保持尾数位数不变的方法。最简单的技术叫作截断。
比如将0.1101101截断为4位尾数的结果为0.1101。截断会产生诱导误差（即误差是由施加在数上的操作计算所引起的），诱导误差是偏差的，因为截断后的数总比截断数小。
舍入是一种更好的减少数的尾数的技术。如果舍弃的位的值大于剩余数的最低位的一半，将剩余数的最低位+1。
比如：
要找到中间值，先确定要保留的有效数字，找到要保留的有效数字最低位的下一位。如果这位是进制的一半，而且之后的位数都为 0，则这个值就是中间值。
舍入到最近的偶数例子：
十进制的 1.2500，要保留到小数点后一位，下一位是 5，是进制的一半，后面位数都为 0，所以这个值就是中间值
二进制的 10.0110，要保留到小数点后两位，下一位是 1，是进制的一半，后面位数都为 0，所以这个值就是中间值
知道了舍入规则之后(舍弃的位的值大于剩余数的最低位的一半)，
看几个具体的例子，以二进制为例，有效位数保留到小数点后两位（保留两位数的话，0.xx1是余数的最低位的一半）。
10.00_011，中间值为 10.00100，小于中间值，向下舍入为 10.00
10.00_110，中间值为 10.00100，大于中间值，向上舍入为 10.01
10.11_100，中间值为 10.11100，等于中间值，要保留的最低有效位 1 为奇数，向上舍入为 11.00
10.10_100，中间值为 10.10100，等于中间值，要保留的最低有效位 0 为偶数，向下舍入为 10.10舍入机制
（1）最简单的舍入机制是截断或向0舍入。
（2）向最近的数舍入：选择距离该数最近的那个浮点数作为结果。
（3）向正或负无穷大舍入：选择正或负无穷大方向上最近的有效浮点数作为结果。
（4）向偶数舍入：当要舍入的数位于两个连续浮点数的正中时，IEEE舍入机制选择最低位为0的点（即向偶数舍入）
详细信息见IEEE754标准中的4种舍入模式
舍入的规则需要区分三种情况：
当具体的值大于中间值的时候，向上舍入
当具体的值小于中间值的时候，向下舍入
当具体的值等于中间值的时候，向偶数舍入。向偶数舍入指的是要保留的最低有效位为偶数，具体规则：
要保留的最低有效位如果为奇数，则向上舍入
要保留的最低有效位如果为偶数，则向下舍入
扩展：乘除计算步骤
浮点乘法：
1.阶码相加
2.尾数相乘
3.规格化
4.判断溢出
浮点除法：
1.阶码相减
2.尾数相除
3.规格化
4.判断溢出备注：该内容为读书笔记，部分内容与图片收集来源于网络，如有侵权或错误，请联系我整改，谢谢！
